Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as soluções de maneira organizada. O que a gente precisa é transformar o sistema em uma forma mais simples, onde a gente consegue resolver uma equação de cada vez. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:

Passo 3

O objetivo da eliminação de Gauss é criar uma matriz ampliada do sistema e então aplicar operações nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde podemos resolver as variáveis uma por uma.
A matriz ampliada fica assim:

Passo 4

Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e também subtraímos a primeira linha da quarta.
Nova matriz:

Passo 5

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la. Vamos remover a quarta linha.
Matriz ajustada:

Passo 6

Agora, vamos organizar a matriz para facilitar a resolução. Vamos reordenar as linhas para que a variável fique na segunda equação.
Matriz reorganizada:

Passo 7

A partir daqui, podemos resolver o sistema de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:

Passo 8

Com , substituímos na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos na terceira equação original (já resolvemos isso, mas para manter a clareza):
Então, .

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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