Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
k) lx+z+2 w=0 2 x+3 z+3 w=0 y+2 w=2 x+2 z+w=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as soluções de maneira organizada. O que a gente precisa é transformar o sistema em uma forma mais simples, onde a gente consegue resolver uma equação de cada vez. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + z + 2w = 0 2x + 3z + 3w = 0 y + 2w = 2 x + 2z + w = 0

Passo 3

O objetivo da eliminação de Gauss é criar uma matriz ampliada do sistema e então aplicar operações nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde podemos resolver as variáveis uma por uma.
A matriz ampliada fica assim:
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 2 & 0 & 3 & 3 & | & 0 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 1 & 0 & 2 & 1 & | & 0

Passo 4

Vamos começar eliminando o 1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0 das equações abaixo da primeira. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e também subtraímos a primeira linha da quarta.
Nova matriz:

Passo 5

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la. Vamos remover a quarta linha.
Matriz ajustada:
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2

Passo 6

Agora, vamos organizar a matriz para facilitar a resolução. Vamos reordenar as linhas para que a variável 1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0 fique na segunda equação.
Matriz reorganizada:

Passo 7

A partir daqui, podemos resolver o sistema de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
1w = 0 Rightarrow w = 0

Passo 8

Com y + 2(0) = 2 Rightarrow y = 2 , substituímos na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos x + z + 2(0) = 0 Rightarrow x + z = 0 Rightarrow x = -z na primeira equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos z - 0 = 0 Rightarrow z = 0 na terceira equação original (já resolvemos isso, mas para manter a clareza):
Então, .

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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