Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as soluções de maneira organizada. O que a gente precisa é transformar o sistema em uma forma mais simples, onde a gente consegue resolver uma equação de cada vez. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
Passo 3
O objetivo da eliminação de Gauss é criar uma matriz ampliada do sistema e então aplicar operações nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde podemos resolver as variáveis uma por uma.
A matriz ampliada fica assim:
Passo 4
Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e também subtraímos a primeira linha da quarta.
Nova matriz:
Passo 5
Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la. Vamos remover a quarta linha.
Matriz ajustada:
Passo 6
Agora, vamos organizar a matriz para facilitar a resolução. Vamos reordenar as linhas para que a variável fique na segunda equação.
Matriz reorganizada:
Passo 7
A partir daqui, podemos resolver o sistema de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
Passo 8
Com , substituímos na segunda equação:
Passo 9
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 10
Finalmente, substituímos na terceira equação original (já resolvemos isso, mas para manter a clareza):