Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
j) l2 x+2 y+2 z+3 w=3 x+y+z+w=1 3 x+3 y+3 z+2 w=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de 3 equações com 4 variáveis: e . O nosso objetivo é resolver esse sistema usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações transformando-os em uma forma mais fácil de resolver, chamada de forma triangular. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar o trabalho:
2x + 2y + 2z + 3w = 3 (Equação 1) x + y + z + w = 1 (Equação 2) 3x + 3y + 3z + 2w = 2 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável x = 1 - y - z - w das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.
Primeiro, resolvemos a Equação 2 para 2(1 - y - z - w) + 2y + 2z + 3w = 3 :
2 - 2y - 2z - 2w + 2y + 2z + 3w = 3 2 + w = 3 w = 1
Agora, substituímos esse valor de na Equação 1:
Simplificando:

Passo 4

Agora que sabemos que x + y + z + 1 = 1 x + y + z = 0 x = -y - z , substituímos esse valor na Equação 2 para encontrar :

Passo 5

Com 3(-y - z) + 3y + 3z + 2(1) = 2 -3y - 3z + 3y + 3z + 2 = 2 2 = 2 e , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar uma relação entre e :
Essa equação não nos dá nova informação, indicando que as variáveis e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor.

Passo 6

Como x = -t - s w = 1 e são variáveis livres, podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis. Vamos chamar e , onde e são quaisquer números reais.
Então, temos:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -t - s y = t z = s w = 1
onde e são números reais quaisquer.

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