Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de 3 equações com 4 variáveis: e . O nosso objetivo é resolver esse sistema usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações transformando-os em uma forma mais fácil de resolver, chamada de forma triangular. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar o trabalho:
çãçãçã
Passo 3
Vamos começar eliminando a variável das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.
Primeiro, resolvemos a Equação 2 para :
Agora, substituímos esse valor de na Equação 1:
Simplificando:
Passo 4
Agora que sabemos que , substituímos esse valor na Equação 2 para encontrar :
Passo 5
Com e , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar uma relação entre e :
Essa equação não nos dá nova informação, indicando que as variáveis e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor.
Passo 6
Como e são variáveis livres, podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis. Vamos chamar e , onde e são quaisquer números reais.