Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de 3 equações com 4 variáveis: e . O nosso objetivo é resolver esse sistema usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações transformando-os em uma forma mais fácil de resolver, chamada de forma triangular. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar o trabalho:
2x + 2y + 2z + 3w = 3 (Equação 1) x + y + z + w = 1 (Equação 2) 3x + 3y + 3z + 2w = 2 (Equação 3) çãçãçã
Passo 3
Vamos começar eliminando a variável x = 1 - y - z - w das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.
Primeiro, resolvemos a Equação 2 para 2(1 - y - z - w) + 2y + 2z + 3w = 3 :
Agora que sabemos que x + y + z + 1 = 1 x + y + z = 0 x = -y - z , substituímos esse valor na Equação 2 para encontrar :
Passo 5
Com 3(-y - z) + 3y + 3z + 2(1) = 2 -3y - 3z + 3y + 3z + 2 = 2 2 = 2 e , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar uma relação entre e :
Essa equação não nos dá nova informação, indicando que as variáveis e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor.
Passo 6
Como x = -t - s w = 1 e são variáveis livres, podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis. Vamos chamar e , onde e são quaisquer números reais.