Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss. Isso basicamente significa que vamos transformar o sistema para facilitar a resolução, eliminando variáveis passo a passo. As equações que temos são:
Vamos precisar manipular essas equações para isolar as variáveis uma por uma.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os resultados das equações:
Passo 3
Nosso objetivo é fazer com que abaixo do primeiro número (chamado de pivô) na primeira coluna, os números fiquem zero. Para isso, podemos substituir a segunda e a terceira equação subtraindo a primeira equação multiplicada por uma constante adequada.
Primeiro, vamos fazer a segunda equação menos metade da primeira:
çãçãçã
Calculando:
Então, a segunda equação fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar a variável da terceira equação da mesma forma. Subtraímos a metade da primeira equação da terceira:
çãçãçã
Calculando:
Então, a terceira equação fica:
Passo 5
Agora temos um sistema mais simples:
Vamos resolver a segunda equação para :
Substituímos esse valor de na terceira equação:
Passo 6
Com , voltamos para encontrar :
Agora, usamos e na primeira equação para encontrar :