Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
(b) sse .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três números inteiros não nulos: , e . A gente quer mostrar que o máximo divisor comum de e é 1 e o máximo divisor comum de e também é 1 se e somente se o máximo divisor comum de e é 1. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o máximo divisor comum (mdc) e usar algumas propriedades básicas dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que e . Isso quer dizer que e não têm nenhum divisor comum além de 1, e o mesmo para e . Em outras palavras, e são coprimos, e e também são coprimos.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que se e são coprimos e e são coprimos, então o produto e também são coprimos, ou seja, .
Suponha, por contradição, que existe um número que divide tanto quanto . Como divide , pelo teorema fundamental da aritmética, divide pelo menos um dos fatores, neste caso, ou divide ou divide . Mas sabemos que e , o que significa que não pode dividir . Isso é uma contradição, então não existe tal , o que implica que .

Passo 4

Agora, vamos mostrar a outra direção: se , então e .
Se e são coprimos, não existe nenhum número que divide tanto quanto . Suponha que com . Então divide e também , o que implicaria que divide , já que divide . Mas isso contraria o fato de que . Portanto, deve ser 1. O mesmo argumento se aplica para .

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Escreva:
(d) em base 8 .
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
(b) O quadrado de um inteiro é da forma ou .
Use o algoritmo de Euclides para obter os números e satisfazendo:
© .
Resolva as seguintes equações diofantinas
(b) .