Sejam a, b e c inteiros não nulos. Mostre que
(b) m d c(a, c)=m d c(b, c)=1 sse m d c(a b, c)=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três números inteiros não nulos: a, b e c. A gente quer mostrar que o máximo divisor comum de a e c é 1 e o máximo divisor comum de b e c também é 1 se e somente se o máximo divisor comum de ab e c é 1. Ou seja:
mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1 se e somente se mdc(ab, c) = 1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o máximo divisor comum (mdc) e usar algumas propriedades básicas dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que mdc(a, c) = 1 e mdc(b, c) = 1. Isso quer dizer que a e c não têm nenhum divisor comum além de 1, e o mesmo para b e c. Em outras palavras, a e c são coprimos, e b e c também são coprimos.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que se a e c são coprimos e b e c são coprimos, então o produto ab e c também são coprimos, ou seja, mdc(ab, c) = 1.
Suponha, por contradição, que existe um número d > 1 que divide tanto ab quanto c. Como d divide ab, pelo teorema fundamental da aritmética, d divide pelo menos um dos fatores, neste caso, ou d divide a ou d divide b. Mas sabemos que mdc(a, c) = 1 e mdc(b, c) = 1, o que significa que d não pode dividir c. Isso é uma contradição, então não existe tal d, o que implica que mdc(ab, c) = 1.

Passo 4

Agora, vamos mostrar a outra direção: se mdc(ab, c) = 1, então mdc(a, c) = 1 e mdc(b, c) = 1.
Se ab e c são coprimos, não existe nenhum número d > 1 que divide tanto ab quanto c. Suponha que mdc(a, c) = d com d > 1. Então d divide a e também c, o que implicaria que d divide ab, já que divide a. Mas isso contraria o fato de que mdc(ab, c) = 1. Portanto, mdc(a, c) deve ser 1. O mesmo argumento se aplica para mdc(b, c).

Resposta

Portanto, mostramos que mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1 se e somente se mdc(ab, c) = 1.

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