Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(b)
sse
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três números inteiros não nulos:
,
e
. A gente quer mostrar que o máximo divisor comum de
e
é 1 e o máximo divisor comum de
e
também é 1 se e somente se o máximo divisor comum de
e
é 1. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o máximo divisor comum (mdc) e usar algumas propriedades básicas dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
e
. Isso quer dizer que
e
não têm nenhum divisor comum além de 1, e o mesmo para
e
. Em outras palavras,
e
são coprimos, e
e
também são coprimos.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que se
e
são coprimos e
e
são coprimos, então o produto
e
também são coprimos, ou seja,
.
Suponha, por contradição, que existe um número
que divide tanto
quanto
. Como
divide
, pelo teorema fundamental da aritmética,
divide pelo menos um dos fatores, neste caso, ou
divide
ou
divide
. Mas sabemos que
e
, o que significa que
não pode dividir
. Isso é uma contradição, então não existe tal
, o que implica que
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar a outra direção: se
, então
e
.
Se
e
são coprimos, não existe nenhum número
que divide tanto
quanto
. Suponha que
com
. Então
divide
e também
, o que implicaria que
divide
, já que divide
. Mas isso contraria o fato de que
. Portanto,
deve ser 1. O mesmo argumento se aplica para
.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Escreva:
(d) em base 8 .
(d)
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
(b) O quadrado de um inteiro é da forma ou
.
(b) O quadrado de um inteiro é da forma
Use o algoritmo de Euclides para obter os números
e
satisfazendo:
© .
©
Resolva as seguintes equações diofantinas
(b) .
(b)