Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver os sistemas de equações que você mandou usando o método de Cholesky, tanto com pivotação parcial quanto sem ela. Esse método é ótimo para resolver sistemas lineares que têm matrizes simétricas e positivas definidas. Vamos precisar identificar essas propriedades nas matrizes dos sistemas e seguir os passos do método de Cholesky para encontrar as soluções com duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no sistema a):
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
E o vetor dos termos independentes:
Passo 3
Agora, verificamos se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se . Olhando para , vemos que ela é simétrica porque:
Isso nos permite usar o método de Cholesky.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se a matriz é positiva definida. Isso significa que todos os seus valores próprios são positivos, ou alternativamente, que seus menores principais (determinantes das submatrizes no canto superior esquerdo) são positivos.
Calculando os menores principais:
Primeiro menor: ✅
Segundo menor:
❌
Como o segundo menor é negativo, a matriz não é positiva definida. Isso significa que o método de Cholesky não pode ser aplicado diretamente sem ajustes, como a pivotação parcial.
Passo 5
Vamos então tentar pivotação parcial para reorganizar as linhas da matriz de modo que possamos ter uma matriz positiva definida.
Normalmente, a pivotação parcial troca as linhas para que o elemento pivô (o elemento na diagonal principal que estamos usando para eliminar as outras entradas) seja o maior em valor absoluto na coluna.
Analisando a primeira coluna de :
O maior valor absoluto é na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Agora, verificamos novamente os menores principais para :
Primeiro menor: ❌
Ainda não estamos com positividade. Vamos tentar trocar novamente para ver se conseguimos uma matriz positiva definida, mas parece que isso não será possível. Portanto, o método de Cholesky não é adequado para este sistema devido à falta de positividade definida, mesmo com pivotação parcial.
Passo 6
Como o método de Cholesky não funcionou para o sistema a), vamos tentar resolver o sistema usando eliminação de Gauss com e sem pivotação parcial para encontrar a solução aproximada com duas casas decimais.
Sem Pivotação Parcial:
Aplicamos a eliminação de Gauss diretamente:
Multiplicamos a equação (1) por 6 e somamos à equação (2) para eliminar :
Multiplicamos a equação (1) por -3 e somamos à equação (3) para eliminar :
Agora, temos o sistema reduzido:
Multiplicamos a equação (4) por 11 e a equação (5) por 7 para eliminar :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (4):
Agora, substituímos e na equação (1):
Solução sem Pivotação Parcial:
Resposta
Após resolver o sistema a) sem pivotação parcial usando eliminação de Gauss, as soluções aproximadas são:
Infelizmente, o método de Cholesky não foi aplicável a este sistema devido à matriz não ser positiva definida, mesmo com pivotação parcial. Para sistemas que não atendem às condições necessárias para o método de Cholesky, métodos alternativos como a eliminação de Gauss são mais adequados.