Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
b) Com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende métodos iterativos para encontrar soluções de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações de forma que cada variável esteja isolada em um dos lados da equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o método de Gauss-Seidel pode ser usado nesse sistema. Uma condição comum para isso é que a matriz dos coeficientes seja dominante diagonalmente, ou seja, o valor na diagonal principal de cada linha deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos olhar a matriz dos coeficientes:
Agora, verificamos cada linha:
  1. Primeira linha: ✔️
  2. Segunda linha: ✔️
  3. Terceira linha: ✔️
Como todas as linhas satisfazem a condição de dominância diagonal, o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:

Passo 4

Vamos iniciar as iterações com os valores iniciais , , e .

Iteração 1:

Iteração 2:

Iteração 3:

Passo 5

Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que o . Calculando as diferenças:
Todas as diferenças são menores que , então podemos parar as iterações aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com , é:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Dada a matriz calcular
a)
Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.

Sejam as matrizes . Calcule:
d)