Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem pivotamento parcial quanto com pivotamento parcial, arredondando tudo para dois dígitos significativos. O que a gente vai precisar aqui é entender como decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L e U, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial: , onde
Nossa meta é encontrar matrizes e tais que .
Passo 3
Vamos começar sem pivotamento parcial. A fatoração LU sem pivotamento assume que os elementos da diagonal de não são zero. Vamos decompor em e :
Multiplicando e :
Passo 4
Igualando os elementos correspondentes, temos:
→
→ → →
Arredondando para dois dígitos significativos:
Passo 5
Agora que temos e , vamos resolver . Primeiro, resolvemos :
Substituindo :
Passo 6
Agora resolvemos :
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora, vamos considerar o método com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, trocamos as linhas da matriz para garantir que o maior elemento em módulo da coluna seja usado como pivô. No nosso caso, para a primeira coluna, é maior que , então não precisamos trocar as linhas.
Portanto, os resultados com e sem pivotamento parcial são os mesmos neste caso.
Resposta
A solução do sistema linear é e . Como o pivotamento parcial não foi necessário, as soluções obtidas com e sem pivotamento são iguais.