Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem pivotamento parcial quanto com pivotamento parcial, arredondando tudo para dois dígitos significativos. O que a gente vai precisar aqui é entender como decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L e U, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial:
, onde
Nossa meta é encontrar matrizes
e
tais que
.
Passo 3
Vamos começar sem pivotamento parcial. A fatoração LU sem pivotamento assume que os elementos da diagonal de
não são zero. Vamos decompor
em
e
:
Multiplicando
e
:
Passo 4
Igualando os elementos correspondentes, temos:
-
-
-
→ -
→ → →
Arredondando para dois dígitos significativos:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos resolver
. Primeiro, resolvemos
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora resolvemos
:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora, vamos considerar o método com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, trocamos as linhas da matriz
para garantir que o maior elemento em módulo da coluna seja usado como pivô. No nosso caso, para a primeira coluna,
é maior que
, então não precisamos trocar as linhas.
Portanto, os resultados com e sem pivotamento parcial são os mesmos neste caso.
Resposta
A solução do sistema linear é
e
. Como o pivotamento parcial não foi necessário, as soluções obtidas com e sem pivotamento são iguais.