Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
1,5 x1+0,5 x2=2,5
0,5 x1+2 x2=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem pivotamento parcial quanto com pivotamento parcial, arredondando tudo para dois dígitos significativos. O que a gente vai precisar aqui é entender como decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L e U, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial: A = 1.5 & 0.5 0.5 & 2 , b = 2.5 3 , onde
Nossa meta é encontrar matrizes e tais que .

Passo 3

Vamos começar sem pivotamento parcial. A fatoração LU sem pivotamento assume que os elementos da diagonal de L = 1 & 0 l21 & 1 , U = u11 & u12 0 & u22 não são zero. Vamos decompor L cdot U = u11 & u12 l21u11 & l21u12 + u22 = 1.5 & 0.5 0.5 & 2 em e :
Multiplicando e :

Passo 4

Igualando os elementos correspondentes, temos:
  1. L = 1 & 0 0.33 & 1 , U = 1.5 & 0.5 0 & 1.84
Arredondando para dois dígitos significativos:

Passo 5

Agora que temos y1 = 2.5 0.33 y1 + y2 = 3 e 0.33 times 2.5 + y2 = 3 Rightarrow 0.825 + y2 = 3 Rightarrow y2 = 3 - 0.825 = 2.175 approx 2.2 , vamos resolver . Primeiro, resolvemos :
Substituindo :

Passo 6

Agora resolvemos 1.5 x1 + 0.5 x2 = 2.5 1.84 x2 = 2.2 :
x2 = 2.21.84 approx 1.2
Da segunda equação:
1.5 x1 + 0.5 times 1.2 = 2.5 Rightarrow 1.5 x1 + 0.6 = 2.5 Rightarrow 1.5 x1 = 1.9 Rightarrow x1 = 1.91.5 approx 1.3
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, vamos considerar o método com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, trocamos as linhas da matriz para garantir que o maior elemento em módulo da coluna seja usado como pivô. No nosso caso, para a primeira coluna, é maior que , então não precisamos trocar as linhas.
Portanto, os resultados com e sem pivotamento parcial são os mesmos neste caso.

Resposta

A solução do sistema linear é e . Como o pivotamento parcial não foi necessário, as soluções obtidas com e sem pivotamento são iguais.

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