Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Fatoração LU, tanto sem pivotamento parcial quanto com pivotamento parcial, arredondando tudo para dois dígitos significativos. O que a gente vai precisar aqui é entender como decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L e U, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial: , onde
Nossa meta é encontrar matrizes e tais que .

Passo 3

Vamos começar sem pivotamento parcial. A fatoração LU sem pivotamento assume que os elementos da diagonal de não são zero. Vamos decompor em e :
Multiplicando e :

Passo 4

Igualando os elementos correspondentes, temos:
Arredondando para dois dígitos significativos:

Passo 5

Agora que temos e , vamos resolver . Primeiro, resolvemos :
Substituindo :

Passo 6

Agora resolvemos :
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, vamos considerar o método com pivotamento parcial. Isso significa que, se necessário, trocamos as linhas da matriz para garantir que o maior elemento em módulo da coluna seja usado como pivô. No nosso caso, para a primeira coluna, é maior que , então não precisamos trocar as linhas.
Portanto, os resultados com e sem pivotamento parcial são os mesmos neste caso.

Resposta

A solução do sistema linear é e . Como o pivotamento parcial não foi necessário, as soluções obtidas com e sem pivotamento são iguais.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
b) Com .
Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Sejam as matrizes . Calcule:
d)
Dado o vetor , calcular
b)