Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Decomposição LU, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente a fatoração de matrizes em matrizes L (inferior) e U (superior). Para isso, vamos precisar manipular as equações para separar essas matrizes e, depois, resolver o sistema passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações na forma de matriz:
[ 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 x1 x2 x3 = 5 9 29
]
Isso nos dá a matriz A e o vetor b. Queremos encontrar uma matriz L (com 1’s na diagonal inferior) e uma matriz U (triangular superior) tal que A = LU.
Passo 3
Sem Pivotação Parcial:
Vamos começar decompondo a matriz A em L e U sem usar pivotação.
Primeira Linha:
A primeira linha de U será igual à primeira linha de A: U = 2 & 6 & -3 0 & & 0 & &
A primeira coluna de L será: L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 2 & & 1 (dividimos o elemento abaixo do pivô pela posição do pivô: 1 & 3 & 2 - 12 2 & 6 & -3 = 0 & 0 & 3.5 e U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & & ).
Segunda Linha:
Subtraímos 4 & -1 & 9 - 2 2 & 6 & -3 = 0 & -13 & 15 primeira linha de segunda linha:
[ U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & -13 & 15
\frac{1}{2} L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 2 & -6.5 & 1
]
Atualizamos U:
Como o pivô na segunda linha é 0, isso indica que precisamos de pivotação, mas como estamos sem pivotação parcial, prosseguimos.
Terceira Linha:
Subtraímos primeira linha de terceira linha:
[
2
]
Atualizamos U:
E a matriz L fica:
Observação: Notamos que a segunda linha de U tem um pivô zero, o que impossibilita continuar a decomposição sem pivotação. Isso mostra uma das limitações de não usar pivotação: podemos acabar com uma matriz singular ou dificuldades na resolução.
Passo 4
Com Pivotação Parcial:
Agora, vamos realizar a decomposição LU com pivotação parcial para evitar o problema que encontramos anteriormente.
Primeira Pivotação:
Procuramos o maior valor absoluto na primeira coluna. Temos 2, 1 e 4. O maior é 4, então trocamos a primeira e a terceira linhas: A = 4 & -1 & 9 1 & 3 & 2 2 & 6 & -3 b = 29 9 5
Atualizamos L com as trocas.
Decomposição:
Primeira Linha de U: U = 4 & -1 & 9 0 & & 0 & &
Primeira Coluna de L: L = 1 & 0 & 0 14 & 1 & 0 24 = 0.5 & & 1