Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Decomposição LU, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente a fatoração de matrizes em matrizes L (inferior) e U (superior). Para isso, vamos precisar manipular as equações para separar essas matrizes e, depois, resolver o sistema passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações na forma de matriz:
[


]
Isso nos dá a matriz A e o vetor b. Queremos encontrar uma matriz L (com 1’s na diagonal inferior) e uma matriz U (triangular superior) tal que A = LU.

Passo 3

Sem Pivotação Parcial:
Vamos começar decompondo a matriz A em L e U sem usar pivotação.
  1. Primeira Linha:
    • A primeira linha de U será igual à primeira linha de A:
    • A primeira coluna de L será: (dividimos o elemento abaixo do pivô pela posição do pivô: e ).
  2. Segunda Linha:
    • Subtraímos primeira linha de segunda linha:
      [

      \frac{1}{2}


      ]
    • Atualizamos U:
    • Como o pivô na segunda linha é 0, isso indica que precisamos de pivotação, mas como estamos sem pivotação parcial, prosseguimos.
  3. Terceira Linha:
    • Subtraímos primeira linha de terceira linha:
      [

      2


      ]
    • Atualizamos U:
    • E a matriz L fica:
Observação: Notamos que a segunda linha de U tem um pivô zero, o que impossibilita continuar a decomposição sem pivotação. Isso mostra uma das limitações de não usar pivotação: podemos acabar com uma matriz singular ou dificuldades na resolução.

Passo 4

Com Pivotação Parcial:
Agora, vamos realizar a decomposição LU com pivotação parcial para evitar o problema que encontramos anteriormente.
  1. Primeira Pivotação:
    • Procuramos o maior valor absoluto na primeira coluna. Temos 2, 1 e 4. O maior é 4, então trocamos a primeira e a terceira linhas:
    • Atualizamos L com as trocas.
  2. Decomposição:
    • Primeira Linha de U:
    • Primeira Coluna de L:
    • Subtraímos primeira linha de segunda linha:
      [

      0.25


      ]
    • Subtraímos primeira linha de terceira linha:
      [

      0.5


      ]
    • Atualizamos U:
  3. Segunda Pivotação:
    • Procuramos o maior valor absoluto na segunda coluna abaixo da diagonal. Temos 3.25 e 6.5. O maior é 6.5, então trocamos a segunda e terceira linhas:
    • Atualizamos L com essa troca:
  4. Finalizando a Decomposição:
    • Subtraímos segunda linha de terceira linha:
      [

      0.5


      ]
    • Atualizamos U:
    • E a matriz L fica:

Passo 5

Agora que temos A = LU, vamos resolver Ly = Pb e depois Ux = y.
  1. Resolvendo :
    • Considerando que fizemos pivotação, P é a matriz de permutação que trocou as linhas, então:
    • Escrevemos as equações:
    • Resolvendo:
  2. Resolvendo :
    • Agora, temos:
    • Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

As soluções do sistema são:

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Dada a matriz calcular
Sejam as matrizes . Calcule:
Sejam as matrizes . Calcule:
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com .
b) Com .