Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
l 2 x1+6 x2-3 x3=5 x1+3 x2+2 x3=9 4 x1-1 x2+9 x3=29

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Decomposição LU, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente a fatoração de matrizes em matrizes L (inferior) e U (superior). Para isso, vamos precisar manipular as equações para separar essas matrizes e, depois, resolver o sistema passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações na forma de matriz:
[
2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 x1 x2 x3 = 5 9 29


]
Isso nos dá a matriz A e o vetor b. Queremos encontrar uma matriz L (com 1’s na diagonal inferior) e uma matriz U (triangular superior) tal que A = LU.

Passo 3

Sem Pivotação Parcial:
Vamos começar decompondo a matriz A em L e U sem usar pivotação.
  1. Primeira Linha:
    • A primeira linha de U será igual à primeira linha de A: U = 2 & 6 & -3 0 & & 0 & &
    • A primeira coluna de L será: L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 2 & & 1 (dividimos o elemento abaixo do pivô pela posição do pivô: 1 & 3 & 2 - 12 2 & 6 & -3 = 0 & 0 & 3.5 e U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & & ).
  2. Segunda Linha:
    • Subtraímos 4 & -1 & 9 - 2 2 & 6 & -3 = 0 & -13 & 15 primeira linha de segunda linha:
      [
      U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & -13 & 15

      \frac{1}{2}
      L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 2 & -6.5 & 1


      ]
    • Atualizamos U:
    • Como o pivô na segunda linha é 0, isso indica que precisamos de pivotação, mas como estamos sem pivotação parcial, prosseguimos.
  3. Terceira Linha:
    • Subtraímos primeira linha de terceira linha:
      [

      2


      ]
    • Atualizamos U:
    • E a matriz L fica:
Observação: Notamos que a segunda linha de U tem um pivô zero, o que impossibilita continuar a decomposição sem pivotação. Isso mostra uma das limitações de não usar pivotação: podemos acabar com uma matriz singular ou dificuldades na resolução.

Passo 4

Com Pivotação Parcial:
Agora, vamos realizar a decomposição LU com pivotação parcial para evitar o problema que encontramos anteriormente.
  1. Primeira Pivotação:
    • Procuramos o maior valor absoluto na primeira coluna. Temos 2, 1 e 4. O maior é 4, então trocamos a primeira e a terceira linhas: A = 4 & -1 & 9 1 & 3 & 2 2 & 6 & -3 b = 29 9 5
    • Atualizamos L com as trocas.
  2. Decomposição:
    • Primeira Linha de U: U = 4 & -1 & 9 0 & & 0 & &
    • Primeira Coluna de L: L = 1 & 0 & 0 14 & 1 & 0 24 = 0.5 & & 1
    • Subtraímos 1 & 3 & 2 - 0.25 4 & -1 & 9 = 0 & 3.25 & -0.25 primeira linha de segunda linha:
      [
      2 & 6 & -3 - 0.5 4 & -1 & 9 = 0 & 6.5 & -7.5

      0.25
      U = 4 & -1 & 9 0 & 3.25 & -0.25 0 & 6.5 & -7.5

      U = 4 & -1 & 9 0 & 6.5 & -7.5 0 & 3.25 & -0.25
      ]
    • Subtraímos L = 1 & 0 & 0 0.25 & 1 & 0 0.5 & 3.256.5 = 0.5 & 1 primeira linha de terceira linha:
      [
      0 & 3.25 & -0.25 - 0.5 0 & 6.5 & -7.5 = 0 & 0 & 3.5

      0.5
      U = 4 & -1 & 9 0 & 6.5 & -7.5 0 & 0 & 3.5

      L = 1 & 0 & 0 0.25 & 1 & 0 0.5 & 0.5 & 1
      ]
    • Atualizamos U:
  3. Segunda Pivotação:
    • Procuramos o maior valor absoluto na segunda coluna abaixo da diagonal. Temos 3.25 e 6.5. O maior é 6.5, então trocamos a segunda e terceira linhas:
    • Atualizamos L com essa troca:
  4. Finalizando a Decomposição:
    • Subtraímos segunda linha de terceira linha:
      [

      0.5


      ]
    • Atualizamos U:
    • E a matriz L fica:

Passo 5

Agora que temos A = LU, vamos resolver Ly = Pb e depois Ux = y.
  1. Resolvendo Pb = 29 9 5 :
    • Considerando que fizemos pivotação, P é a matriz de permutação que trocou as linhas, então: y1 = 29 0.25y1 + y2 = 9 0.5y1 + 0.5y2 + y3 = 5
    • Escrevemos as equações: 4x1 - x2 + 9x3 = 29 6.5x2 - 7.5x3 = 1.75 3.5x3 = -10.375
    • Resolvendo:
  2. Resolvendo :
    • Agora, temos:
    • Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 approx 13.12 x2 approx -3.15 x3 approx -2.96

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