Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Decomposição LU, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente a fatoração de matrizes em matrizes L (inferior) e U (superior). Para isso, vamos precisar manipular as equações para separar essas matrizes e, depois, resolver o sistema passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações na forma de matriz:
[
]
Isso nos dá a matriz A e o vetor b. Queremos encontrar uma matriz L (com 1’s na diagonal inferior) e uma matriz U (triangular superior) tal que A = LU.
Passo 3
Sem Pivotação Parcial:
Vamos começar decompondo a matriz A em L e U sem usar pivotação.
Primeira Linha:
A primeira linha de U será igual à primeira linha de A:
A primeira coluna de L será:(dividimos o elemento abaixo do pivô pela posição do pivô: e ).
Segunda Linha:
Subtraímos primeira linha de segunda linha:
[
\frac{1}{2}
]
Atualizamos U:
Como o pivô na segunda linha é 0, isso indica que precisamos de pivotação, mas como estamos sem pivotação parcial, prosseguimos.
Terceira Linha:
Subtraímos primeira linha de terceira linha:
[
2
]
Atualizamos U:
E a matriz L fica:
Observação: Notamos que a segunda linha de U tem um pivô zero, o que impossibilita continuar a decomposição sem pivotação. Isso mostra uma das limitações de não usar pivotação: podemos acabar com uma matriz singular ou dificuldades na resolução.
Passo 4
Com Pivotação Parcial:
Agora, vamos realizar a decomposição LU com pivotação parcial para evitar o problema que encontramos anteriormente.
Primeira Pivotação:
Procuramos o maior valor absoluto na primeira coluna. Temos 2, 1 e 4. O maior é 4, então trocamos a primeira e a terceira linhas:
Atualizamos L com as trocas.
Decomposição:
Primeira Linha de U:
Primeira Coluna de L:
Subtraímos primeira linha de segunda linha:
[
0.25
]
Subtraímos primeira linha de terceira linha:
[
0.5
]
Atualizamos U:
Segunda Pivotação:
Procuramos o maior valor absoluto na segunda coluna abaixo da diagonal. Temos 3.25 e 6.5. O maior é 6.5, então trocamos a segunda e terceira linhas:
Atualizamos L com essa troca:
Finalizando a Decomposição:
Subtraímos segunda linha de terceira linha:
[
0.5
]
Atualizamos U:
E a matriz L fica:
Passo 5
Agora que temos A = LU, vamos resolver Ly = Pb e depois Ux = y.
Resolvendo :
Considerando que fizemos pivotação, P é a matriz de permutação que trocou as linhas, então: