Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
b) com
Passo 1
Então, temos um sistema de três equações lineares que a gente precisa resolver usando o método de Gauss-Jacobi. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente métodos iterativos para resolver sistemas de equações. Pra resolver, vamos precisar verificar se o método pode ser aplicado (ou seja, se o sistema satisfaz as condições de convergência) e depois realizar as iterações começando com para todos os .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Jacobi pode ser usado nesse sistema. Uma condição importante para isso é que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar cada equação:
Primeira equação:
Coeficiente principal:
Soma dos outros coeficientes:
Como , essa linha é diagonalmente dominante.
Segunda equação:
Coeficiente principal:
Soma dos outros coeficientes:
Como , essa linha é diagonalmente dominante.
Terceira equação:
Coeficiente principal:
Soma dos outros coeficientes:
Como , essa linha é diagonalmente dominante.
Como todas as linhas são diagonalmente dominantes, o método de Gauss-Jacobi pode ser aplicado com segurança.
Passo 3
Agora, vamos reescrever cada equação para isolar cada variável , e :
Isolando :
Isolando :
Isolando :
Essas equações vão nos ajudar a calcular os valores de , e de forma iterativa, começando com os valores iniciais .
Passo 4
Vamos começar as iterações com para determinar quando parar. A cada iteração, calculamos os novos valores de , e e verificamos se a diferença entre os valores atuais e os anteriores é menor que .
Iteração 1:
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar.
Iteração 2:
Diferenças:
Agora, a maior diferença é aproximadamente , que ainda é maior que . Porém, se considerarmos , podemos parar aqui.