Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com xi^0=0 forall i. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
b) l10 x1-x2+2 x3=6 -x1+11 x2-x3=25 2 x1-x2+10 x3=-11 com varepsilon=0,5

Passo 1

Então, temos um sistema de três equações lineares que a gente precisa resolver usando o método de Gauss-Jacobi. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente métodos iterativos para resolver sistemas de equações. Pra resolver, vamos precisar verificar se o método pode ser aplicado (ou seja, se o sistema satisfaz as condições de convergência) e depois realizar as iterações começando com para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Jacobi pode ser usado nesse sistema. Uma condição importante para isso é que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar cada equação:
  1. Primeira equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
  2. Segunda equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
  3. Terceira equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
Como todas as linhas são diagonalmente dominantes, o método de Gauss-Jacobi pode ser aplicado com segurança.

Passo 3

Agora, vamos reescrever cada equação para isolar cada variável x1 = 6 + x2 - 2x310 , x2 = 25 + x1 + x311 e x3 = -11 - 2x1 + x210 :
  1. Isolando :
  2. Isolando :
  3. Isolando :
Essas equações vão nos ajudar a calcular os valores de , e de forma iterativa, começando com os valores iniciais .

Passo 4

Vamos começar as iterações com x1^1 = 6 + 0 - 2 times 010 = 0,6 x2^1 = 25 + 0 + 011 approx 2,27 x3^1 = -11 - 2 times 0 + 010 = -1,1 para determinar quando parar. A cada iteração, calculamos os novos valores de |0,6 - 0| = 0,6 |2,27 - 0| = 2,27 |-1,1 - 0| = 1,1 , x1^2 = 6 + 2,27 - 2 times (-1,1)10 = 6 + 2,27 + 2,210 = 1,047 x2^2 = 25 + 0,6 + (-1,1)11 = 24,511 approx 2,227 x3^2 = -11 - 2 times 0,6 + 2,2710 = -11 - 1,2 + 2,2710 = -1,092 e |1,047 - 0,6| approx 0,447 |2,227 - 2,27| approx 0,043 |-1,092 - (-1,1)| approx 0,008 e verificamos se a diferença entre os valores atuais e os anteriores é menor que .
Iteração 1:
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar.
Iteração 2:
Diferenças:
Agora, a maior diferença é aproximadamente , que ainda é maior que . Porém, se considerarmos , podemos parar aqui.

Resposta

Após as iterações, as soluções aproximadas são:
x1 approx 1,05 x2 approx 2,23 x3 approx -1,09

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