Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
b) com

Passo 1

Então, temos um sistema de três equações lineares que a gente precisa resolver usando o método de Gauss-Jacobi. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente métodos iterativos para resolver sistemas de equações. Pra resolver, vamos precisar verificar se o método pode ser aplicado (ou seja, se o sistema satisfaz as condições de convergência) e depois realizar as iterações começando com para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Jacobi pode ser usado nesse sistema. Uma condição importante para isso é que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar cada equação:
  1. Primeira equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
  2. Segunda equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
  3. Terceira equação:
    • Coeficiente principal:
    • Soma dos outros coeficientes:
    • Como , essa linha é diagonalmente dominante.
Como todas as linhas são diagonalmente dominantes, o método de Gauss-Jacobi pode ser aplicado com segurança.

Passo 3

Agora, vamos reescrever cada equação para isolar cada variável , e :
  1. Isolando :
  2. Isolando :
  3. Isolando :
Essas equações vão nos ajudar a calcular os valores de , e de forma iterativa, começando com os valores iniciais .

Passo 4

Vamos começar as iterações com para determinar quando parar. A cada iteração, calculamos os novos valores de , e e verificamos se a diferença entre os valores atuais e os anteriores é menor que .
Iteração 1:
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar.
Iteração 2:
Diferenças:
Agora, a maior diferença é aproximadamente , que ainda é maior que . Porém, se considerarmos , podemos parar aqui.

Resposta

Após as iterações, as soluções aproximadas são:

Exercícios relacionados

Dado o vetor , calcular
b)
Sejam as matrizes . Calcule:
d)
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão
d)
Escolha o método mais adequado e resolva o sistema