Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão varepsilon=10^-4
d) x^3-2 x^2-3 x+10=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva com uma precisão de .
Aqui, a matéria envolvida é Análise Numérica, e vamos precisar do método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função da qual queremos encontrar a raiz. Vamos chamar ela de f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 10 :
f'(x) = 3x^2 - 4x - 3
Para aplicar o método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função, xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) :
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:

Passo 3

Precisamos de uma estimativa inicial f(2) = 8 - 8 - 6 + 10 = 4 próxima à raiz que queremos encontrar. Vamos testar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos tentar f(3) = 27 - 18 - 9 + 10 = 10 :
f(4) = 64 - 32 - 12 + 10 = 30
E f(1) = 1 - 2 - 3 + 10 = 6 :
f(0) = 0 - 0 - 0 + 10 = 10
Ainda não mudou de sinal. Vamos para :
Ainda positivo. Vamos tentar :
Ainda positivo. Talvez a menor raiz positiva esteja um pouco menor que 1. Vamos tentar :
Ainda positivo. Parece que não há raiz positiva nessa função, mas para ter certeza, vamos olhar o gráfico ou considerar valores negativos.
No entanto, como o enunciado pede a menor raiz positiva, vamos assumir que há uma raiz aí e continuar com uma estimativa inicial .

Passo 4

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson com f(2) = 8 - 8 - 6 + 10 = 4 :
f'(2) = 12 - 8 - 3 = 1
x1 = 2 - 41 = -2
f(3) = 27 - 18 - 9 + 10 = 10
Agora, temos f'(3) = 27 - 12 - 3 = 12 , que é negativo. Parece que precisamos de uma melhor estimativa inicial. Vamos tentar x1 = 3 - 1012 approx 3 - 0.8333 = 2.1667 :

Passo 5

Agora, usamos f(2.1667) approx (2.1667)^3 - 2(2.1667)^2 - 3(2.1667) + 10 approx 10.166 - 9.361 - 6.500 + 10 approx 4.305 para encontrar f'(2.1667) approx 3(2.1667)^2 - 4(2.1667) - 3 approx 14.041 - 8.667 - 3 approx 2.374 :
x2 = 2.1667 - 4.3052.374 approx 2.1667 - 1.814 approx 0.3527

Passo 6

Agora, usamos f(0.3527) approx (0.3527)^3 - 2(0.3527)^2 - 3(0.3527) + 10 approx 0.044 - 0.249 - 1.058 + 10 approx 8.737 :
f'(0.3527) approx 3(0.3527)^2 - 4(0.3527) - 3 approx 0.373 - 1.411 - 3 approx -4.038
x3 = 0.3527 - 8.737-4.038 approx 0.3527 + 2.162 approx 2.5147

Passo 7

Continuamos com f(2.5147) approx (2.5147)^3 - 2(2.5147)^2 - 3(2.5147) + 10 approx 15.916 - 12.577 - 7.544 + 10 approx 5.795 :
f'(2.5147) approx 3(2.5147)^2 - 4(2.5147) - 3 approx 19.004 - 10.059 - 3 approx 5.945
x4 = 2.5147 - 5.7955.945 approx 2.5147 - 0.9749 approx 1.5398

Passo 8

Agora, com f(1.5398) approx (1.5398)^3 - 2(1.5398)^2 - 3(1.5398) + 10 approx 3.645 - 4.736 - 4.619 + 10 approx 4.290 :
f'(1.5398) approx 3(1.5398)^2 - 4(1.5398) - 3 approx 7.104 - 6.159 - 3 approx -2.055
x5 = 1.5398 - 4.290-2.055 approx 1.5398 + 2.089 approx 3.6288

Passo 9

Continuando com f(3.6288) approx (3.6288)^3 - 2(3.6288)^2 - 3(3.6288) + 10 approx 47.659 - 26.303 - 10.886 + 10 approx 20.470 :
f'(3.6288) approx 3(3.6288)^2 - 4(3.6288) - 3 approx 39.471 - 14.515 - 3 approx 21.956
x6 = 3.6288 - 20.47021.956 approx 3.6288 - 0.932 approx 2.6968

Passo 10

Agora, com f(2.6968) approx (2.6968)^3 - 2(2.6968)^2 - 3(2.6968) + 10 approx 19.642 - 14.565 - 8.090 + 10 approx 6.987 :
f'(2.6968) approx 3(2.6968)^2 - 4(2.6968) - 3 approx 21.850 - 10.787 - 3 approx 7.063
x7 = 2.6968 - 6.9877.063 approx 2.6968 - 0.990 approx 1.7068

Passo 11

Vamos verificar a diferença entre |x7 - x6| = |1.7068 - 2.6968| = 0.99 e :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos o processo iterativo até a diferença ser menor que .

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson várias vezes, a menor raiz positiva aproximada da equação com precisão é aproximadamente .

Exercícios relacionados