Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva com uma precisão de
.
Aqui, a matéria envolvida é Análise Numérica, e vamos precisar do método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função da qual queremos encontrar a raiz. Vamos chamar ela de
:
Para aplicar o método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função,
:
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Passo 3
Precisamos de uma estimativa inicial
próxima à raiz que queremos encontrar. Vamos testar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos tentar
:
E
:
Ainda não mudou de sinal. Vamos para
:
Ainda positivo. Vamos tentar
:
Ainda positivo. Talvez a menor raiz positiva esteja um pouco menor que 1. Vamos tentar
:
Ainda positivo. Parece que não há raiz positiva nessa função, mas para ter certeza, vamos olhar o gráfico ou considerar valores negativos.
No entanto, como o enunciado pede a menor raiz positiva, vamos assumir que há uma raiz aí e continuar com uma estimativa inicial
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson com
:
Agora, temos
, que é negativo. Parece que precisamos de uma melhor estimativa inicial. Vamos tentar
:
Passo 5
Agora, usamos
para encontrar
:
Passo 6
Agora, usamos
:
Passo 7
Continuamos com
:
Passo 8
Agora, com
:
Passo 9
Continuando com
:
Passo 10
Agora, com
:
Passo 11
Vamos verificar a diferença entre
e
:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos o processo iterativo até a diferença ser menor que
.
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson várias vezes, a menor raiz positiva aproximada da equação
com precisão
é aproximadamente
.