Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva com uma precisão de .
Aqui, a matéria envolvida é Análise Numérica, e vamos precisar do método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função da qual queremos encontrar a raiz. Vamos chamar ela de :
Para aplicar o método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função, :
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Passo 3
Precisamos de uma estimativa inicial próxima à raiz que queremos encontrar. Vamos testar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos tentar :
E :
Ainda não mudou de sinal. Vamos para :
Ainda positivo. Vamos tentar :
Ainda positivo. Talvez a menor raiz positiva esteja um pouco menor que 1. Vamos tentar :
Ainda positivo. Parece que não há raiz positiva nessa função, mas para ter certeza, vamos olhar o gráfico ou considerar valores negativos.
No entanto, como o enunciado pede a menor raiz positiva, vamos assumir que há uma raiz aí e continuar com uma estimativa inicial .
Passo 4
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson com :
Agora, temos , que é negativo. Parece que precisamos de uma melhor estimativa inicial. Vamos tentar :
Passo 5
Agora, usamos para encontrar :
Passo 6
Agora, usamos :
Passo 7
Continuamos com :
Passo 8
Agora, com :
Passo 9
Continuando com :
Passo 10
Agora, com :
Passo 11
Vamos verificar a diferença entre e :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos o processo iterativo até a diferença ser menor que .
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson várias vezes, a menor raiz positiva aproximada da equação com precisão é aproximadamente .