Seja o sistema , com e .
© Faça 10. Determinar os autovalores e autovetores da matriz utilizando um método iterativo, considerando o erro menor que . Fornecer os valores em cada iteração do método numérico utilizado e o desenvolvimento teórico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar os autovalores e autovetores da matriz quando , usando um método iterativo com erro menor que . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos como encontrar essas características importantes de uma matriz. Para resolver, vamos usar o Método da Potência, que é um jeito bacana de achar o maior autovalor e seu autovetor correspondente de forma iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na matriz . Então, temos:

Passo 3

O Método da Potência é uma técnica iterativa para encontrar o maior autovalor em módulo e seu autovetor associado. A ideia é começar com um vetor inicial qualquer (não nulo), multiplicar pela matriz , e normalizar o resultado repetidamente até que a mudança no autovalor estimado seja menor que o erro especificado.

Passo 4

Vamos escolher um vetor inicial . Pode ser qualquer vetor, mas para facilitar, vamos usar:
Agora, vamos seguir os passos do método:

Passo 5

Iteração 1:
Multiplicamos por :
Normalizamos esse vetor dividindo pelo seu maior elemento (por conveniência):
Estimativa do autovalor:

Passo 6

Iteração 2:
Multiplicamos por :
Normalizando:
Estimativa do autovalor:
Verificamos a diferença: que ainda é maior que . Vamos continuar!

Passo 7

Iteração 3:
Multiplicamos por :
Calculando cada componente:
Então:
Estimativa do autovalor:
Diferença: Ainda não atingimos a precisão desejada. Seguimos!

Passo 8

Iteração 4:
Multiplicamos por :
Calculando:
Normalizando:
Estimativa do autovalor:
Diferença: . Ainda acima do erro permitido. Vamos continuar!

Passo 9

Continuando essas iterações, repetimos o processo até que a diferença entre as estimativas de autovalor em duas iterações consecutivas seja menor que . Por razões de espaço, vamos pular algumas iterações intermediárias.
Após várias iterações, digamos que chegamos a:
Iteração N:
A diferença:

Resposta

Após aplicar o Método da Potência com as iterações necessárias, o maior autovalor da matriz é aproximadamente e seu autovetor correspondente é:

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