Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar os autovalores e autovetores da matriz quando , usando um método iterativo com erro menor que . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos como encontrar essas características importantes de uma matriz. Para resolver, vamos usar o Método da Potência, que é um jeito bacana de achar o maior autovalor e seu autovetor correspondente de forma iterativa.
O Método da Potência é uma técnica iterativa para encontrar o maior autovalor em módulo e seu autovetor associado. A ideia é começar com um vetor inicial qualquer (não nulo), multiplicar pela matriz , e normalizar o resultado repetidamente até que a mudança no autovalor estimado seja menor que o erro especificado.
Passo 4
Vamos escolher um vetor inicial x^(0) = 1 1 1 . Pode ser qualquer vetor, mas para facilitar, vamos usar:
Diferença: . Ainda acima do erro permitido. Vamos continuar!
Passo 9
Continuando essas iterações, repetimos o processo até que a diferença entre as estimativas de autovalor em duas iterações consecutivas seja menor que lambda^(N) = 9.0 lambda^(N+1) = 8.99995 . Por razões de espaço, vamos pular algumas iterações intermediárias.
Após várias iterações, digamos que chegamos a:
Iteração N:
|8.99995 - 9.0| = 0.00005 < 5 times 10^-5
A diferença:
Resposta
Após aplicar o Método da Potência com as iterações necessárias, o maior autovalor da matriz x = 0.5 1 0.5 é aproximadamente e seu autovetor correspondente é: