Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss.
x+2 y+4 z & =0 2 x+3 y-z & =0 -x+16 z & =4.

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear usando o Método de Gauss. Temos três equações com três incógnitas , e . Para isso, vamos transformar o sistema em uma forma triangular, eliminando uma variável de cada vez, e depois encontrar os valores de cada incógnita.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada:
1 & 2 & 4 & | & 0 2 & 3 & -1 & | & 0 -1 & 0 & 16 & | & 4
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o E2' = E2 - 2 cdot E1 das segunda e terceira equações.
Para a segunda equação:
2 - 2 cdot 1 = 0
Calculando:
3 - 2 cdot 2 = -1
-1 - 2 cdot 4 = -9
0 - 2 cdot 0 = 0
- y - 9z = 0
Nova segunda equação:
E3' = E3 + 1 cdot E1
Para a terceira equação:
-1 + 1 cdot 1 = 0
Calculando:
0 + 1 cdot 2 = 2
16 + 1 cdot 4 = 20
4 + 1 cdot 0 = 4
2y + 20z = 4
Nova terceira equação:

Passo 4

Agora, o sistema está da seguinte forma:
x + 2y + 4z = 0 - y - 9z = 0 2y + 20z = 4
Vamos resolver a segunda equa�o para - y = 9z Rightarrow y = -9z :

Passo 5

Substituímos 2(-9z) + 20z = 4 na terceira equação:
-18z + 20z = 4
Simplificando:
2z = 4 Rightarrow z = 2

Passo 6

Com y = -9 cdot 2 = -18 , substituímos na expressão de :

Passo 7

Agora, substituímos x + 2(-18) + 4(2) = 0 e x - 36 + 8 = 0 na primeira equação para encontrar x - 28 = 0 Rightarrow x = 28 :
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 28, y = -18, z = 2

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