Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss.
x+y+2 z & =8 -x-2 y+3 z & =1 3 x-7 y+4 z & =10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss! O sistema que temos é:
x + y + 2z &= 8 -x - 2y + 3z &= 1 3x - 7y + 4z &= 10
Vamos precisar manipular essas equações para chegar a uma forma mais simples, usando operações de linha. Isso nos ajudará a encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal fiquem zeros. Vamos começar eliminando o -1 + 1 = 0, -2 + 1 = -1, 3 + 2 = 5, 1 + 8 = 9 das equações 2 e 3.
Para eliminar o 0 -1 5 | 9 da segunda linha, somamos a primeira linha à segunda:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
Então, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 - 3(1) = 0, -7 - 3(1) = -10, 4 - 3(2) = -2, 10 - 3(8) = -14 da terceira linha. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1:
0 -10 -2 | -14
Então, a terceira linha fica:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 0 & -10 & -2 & | & -14
Nossa matriz agora é:

Passo 5

Vamos continuar transformando a matriz. Agora, queremos eliminar o 0 times 10 = 0, -1 times 10 = -10, 5 times 10 = 50, 9 times 10 = 90 da terceira linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 10 e somar à terceira linha.
Primeiro, multiplicamos a segunda linha por 10:
0 + 0 = 0, -10 + (-10) = -20, -2 + 50 = 48, -14 + 90 = 76
Agora, somamos isso à terceira linha:
0 1 -5 | -9
No entanto, percebemos que isso não simplifica bem. Vamos tentar outra abordagem: dividir a segunda linha por -1 para facilitar.
Dividindo a segunda linha por -1:
0 + 10(0) = 0, -10 + 10(1) = 0, -2 + 10(-5) = -52, -14 + 10(-9) = -104
Agora, usamos essa nova segunda linha para eliminar o 0 0 -52 | -104 da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 + 10 * Linha 2:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Agora, temos a matriz:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 0 & -52 & | & -104
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação:
-52z = -104 Rightarrow z = -104-52 = 2

Passo 7

Com y - 5z = -9 Rightarrow y - 5(2) = -9 Rightarrow y - 10 = -9 Rightarrow y = 1 , substituímos na segunda equação:

Passo 8

Agora, com x + y + 2z = 8 Rightarrow x + 1 + 2(2) = 8 Rightarrow x + 1 + 4 = 8 Rightarrow x + 5 = 8 Rightarrow x = 3 e , substituímos na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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