Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função: f(x)=e^2 x-e^x-2, considerando x(1)=0.
i x(i) x(i+1) f^prime(x) f(x)
1
2
3
4
5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. O objetivo aqui é encontrar a raiz da função . Isso significa que queremos descobrir o valor de que faz . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções. Nosso ponto de partida é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton-Raphson:
xi+1 = xi - f(xi)f'(xi)
Isso significa que, para cada iteração, a gente atualiza o valor de usando a função e sua derivada .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = e^2x - e^x - 2 :
f'(x) = 2e^2x - e^x
A derivada é:
Isso nos dá a inclinação da função em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos começar com f(0) = e^0 - e^0 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 . Vamos calcular f'(0) = 2e^0 - e^0 = 2 times 1 - 1 = 1 e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 0 - -21 = 0 + 2 = 2
Então, a próxima estimativa para a raiz é .

Passo 6

Vamos repetir o processo com f(2) = e^4 - e^2 - 2 approx 54.5982 - 7.3891 - 2 approx 45.2091 :
f'(2) = 2e^4 - e^2 approx 2 times 54.5982 - 7.3891 approx 101.8073

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula:
x3 = 2 - 45.2091101.8073 approx 2 - 0.444 = 1.556
Então, a próxima estimativa é .

Passo 8

Vamos continuar com f(1.556) = e^3.112 - e^1.556 - 2 approx 22.558 - 4.737 - 2 approx 15.821 :
f'(1.556) = 2e^3.112 - e^1.556 approx 2 times 22.558 - 4.737 approx 40.379

Passo 9

Aplicando a fórmula novamente:
x4 = 1.556 - 15.82140.379 approx 1.556 - 0.391 = 1.165

Passo 10

Repetindo com f(1.165) = e^2.33 - e^1.165 - 2 approx 10.294 - 3.204 - 2 approx 5.09 :
f'(1.165) = 2e^2.33 - e^1.165 approx 2 times 10.294 - 3.204 approx 17.384

Passo 11

Aplicando a fórmula:
x5 = 1.165 - 5.0917.384 approx 1.165 - 0.293 = 0.872

Passo 12

Vamos continuar iterando até que a diferença entre as estimativas seja suficientemente pequena. Após algumas iterações, chegamos a uma estimativa estável:
x approx 0.714

Resposta

A raiz aproximada da função pelo método de Newton-Raphson é .

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