Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função:
, considerando
.
i |
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1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
5 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. O objetivo aqui é encontrar a raiz da função
. Isso significa que queremos descobrir o valor de
que faz
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções. Nosso ponto de partida é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton-Raphson:
Isso significa que, para cada iteração, a gente atualiza o valor de
usando a função
e sua derivada
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
A derivada
é:
Isso nos dá a inclinação da função em qualquer ponto
.
Passo 4
Agora, vamos começar com
. Vamos calcular
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Então, a próxima estimativa para a raiz é
.
Passo 6
Vamos repetir o processo com
:
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula:
Então, a próxima estimativa é
.
Passo 8
Vamos continuar com
:
Passo 9
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 10
Repetindo com
:
Passo 11
Aplicando a fórmula:
Passo 12
Vamos continuar iterando até que a diferença entre as estimativas seja suficientemente pequena. Após algumas iterações, chegamos a uma estimativa estável:
Resposta
A raiz aproximada da função
pelo método de Newton-Raphson é
.
Exercícios relacionados
Utilizando o método de Secante, determine a raiz da função:
, considerando
.
i |
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1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
4 | |||||
5 |
Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função
, considerando o intervalo [0.5:2]:
i | a | x | b |
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1 | ||||||
2 | ||||||
3 | ||||||
4 | ||||||
5 |
Utilizando o método de Lagrange, obtenha o polinômio interpolador para a seguinte função:
Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais:
.
Complete a tabela:
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