Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função: , considerando .
i
1
2
3
4
5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. O objetivo aqui é encontrar a raiz da função . Isso significa que queremos descobrir o valor de que faz . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções. Nosso ponto de partida é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton-Raphson:
Isso significa que, para cada iteração, a gente atualiza o valor de usando a função e sua derivada .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
A derivada é:
Isso nos dá a inclinação da função em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos começar com . Vamos calcular e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Então, a próxima estimativa para a raiz é .

Passo 6

Vamos repetir o processo com :

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula:
Então, a próxima estimativa é .

Passo 8

Vamos continuar com :

Passo 9

Aplicando a fórmula novamente:

Passo 10

Repetindo com :

Passo 11

Aplicando a fórmula:

Passo 12

Vamos continuar iterando até que a diferença entre as estimativas seja suficientemente pequena. Após algumas iterações, chegamos a uma estimativa estável:

Resposta

A raiz aproximada da função pelo método de Newton-Raphson é .

Exercícios relacionados

Utilizando o método de Secante, determine a raiz da função: , considerando .
i
1
2
3
4
5
Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função , considerando o intervalo [0.5:2]:
i a x b
1
2
3
4
5
Utilizando o método de Lagrange, obtenha o polinômio interpolador para a seguinte função:
Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais: .
Complete a tabela: