Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral para n=4.
integral0^1 cos (x)1+x d x
Considerando que o valor exato desta integral I=0.6010, calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra dos trapézios! O problema pede pra calcular a integral de de 0 a 1, usando trapézios. A regra dos trapézios é um método numérico para aproximar integrais, dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. Vamos precisar das fórmulas da regra dos trapézios e entender como aplicar cada etapa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da regra dos trapézios para aproximar a integral Integral approx De com trapézios:
Onde e .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso:
  • De
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, determinamos os pontos x0 = 0 x1 = 0 + 0,25 = 0,25 x2 = 0 + 2 times 0,25 = 0,5 x3 = 0 + 3 times 0,25 = 0,75 x4 = 0 + 4 times 0,25 = 1 :

Passo 5

Vamos calcular f(x0) = cos(0)1+0 = 11 = 1 f(x1) = cos(0,25)1+0,25 approx 0,96891,25 approx 0,7751 f(x2) = cos(0,5)1+0,5 approx 0,87761,5 approx 0,5851 f(x3) = cos(0,75)1+0,75 approx 0,73171,75 approx 0,4175 f(x4) = cos(1)1+1 approx 0,54032 approx 0,2702 para cada :

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula da regra dos trapézios:
Integral approx 0,252 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
Integral approx 0,252 [ 1 + 2(0,7751) + 2(0,5851) + 2(0,4175) + 0,2702 ]

Passo 7

Calculando dentro dos colchetes:
1 + 2(0,7751) + 2(0,5851) + 2(0,4175) + 0,2702 = 1 + 1,5502 + 1,1702 + 0,8350 + 0,2702 approx 4,8256

Passo 8

Agora, multiplicamos pela Integral approx 0,252 times 4,8256 approx 0,125 times 4,8256 approx 0,6032 :

Passo 9

Sabemos que o valor exato da integral é Diferença = |0,6010 - 0,6032| = 0,0022 . Vamos calcular a diferença entre o valor exato e o obtido com a regra dos trapézios:
ç

Resposta

Usando a regra dos trapézios com , a aproximação da integral é . A diferença entre o valor exato e o valor obtido é .

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