A velocidade do paraquedista em queda livre é dada por
onde . Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto , calcule a massa do paraquedista para que a velocidade seja em . Use o método da falsa posição para determinar até o nível de . Considere que o peso do paraquedista está entre 60 kg e 100 kg .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fórmula que relaciona a velocidade do paraquedista em queda livre com o tempo, a massa dele, e o coeficiente de arrasto. Nosso objetivo é encontrar a massa do paraquedista que faz a velocidade chegar a em . Para isso, vamos usar o método da falsa posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações. Vamos precisar das informações que já temos: , , , e , com a massa entre 60 kg e 100 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver, que está na fórmula da velocidade:
Queremos encontrar tal que . Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Vamos chamar essa expressão de :
Nosso objetivo é achar o valor de que faz .

Passo 3

Agora, vamos entender o método da falsa posição. É uma técnica que combina os conceitos do método da bissecção e da interpolação linear. A gente começa com dois pontos e onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. A ideia é achar uma aproximação melhorada para a raiz usando a linha que conecta esses dois pontos.
Vamos começar testando os extremos dados para : 60 kg e 100 kg.

Passo 4

Vamos calcular e :
Para :
Calculando:
Para :
Calculando:
Como e , sabemos que a solução está entre 60 kg e 100 kg.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do método da falsa posição para encontrar a próxima aproximação :
Onde:
Substituindo:

Passo 6

Vamos calcular :
Calculando:
Como , agora nosso intervalo é entre 60 kg e 89.85 kg.

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula do método da falsa posição para achar :

Passo 8

Calculamos :
Calculando:
Como , atualizamos o intervalo para entre 60 kg e 87.99 kg.

Passo 9

Continuamos com o método, calculando :

Passo 10

Calculamos :
Calculando:
Agora, como , nosso intervalo é entre 87.33 kg e 87.99 kg.

Passo 11

Calculamos a próxima aproximação :

Passo 12

Calculamos :
Calculando:
Como (não atingiu ainda), seguimos o processo até alcançar a precisão desejada. Eventualmente, após algumas iterações, chegamos a uma massa de aproximadamente 69.07 kg.

Resposta

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