A velocidade v do paraquedista em queda livre é dada por
v=g mc(1-e^-cm t)
onde g=9.8 m / s^2. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 kg / s, calcule a massa m do paraquedista para que a velocidade seja v=45 m / s em t=9 s. Use o método da falsa posição para determinar m até o nível de |f(xk)|. Considere que o peso do paraquedista está entre 60 kg e 100 kg .
Resposta: x1=69.07 kg

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fórmula que relaciona a velocidade do paraquedista em queda livre com o tempo, a massa dele, e o coeficiente de arrasto. Nosso objetivo é encontrar a massa do paraquedista que faz a velocidade chegar a em . Para isso, vamos usar o método da falsa posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações. Vamos precisar das informações que já temos: , , , e , com a massa entre 60 kg e 100 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver, que está na fórmula da velocidade:
v = g mc (1 - e^-cm t)
Queremos encontrar g mc (1 - e^-cm t) - v = 0 tal que f(m) = g mc (1 - e^-cm t) - v . Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Vamos chamar essa expressão de :
Nosso objetivo é achar o valor de que faz .

Passo 3

Agora, vamos entender o método da falsa posição. É uma técnica que combina os conceitos do método da bissecção e da interpolação linear. A gente começa com dois pontos e onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. A ideia é achar uma aproximação melhorada para a raiz usando a linha que conecta esses dois pontos.
Vamos começar testando os extremos dados para : 60 kg e 100 kg.

Passo 4

Vamos calcular f(60) = 9.8 times 6015 (1 - e^-1560 times 9) - 45 e f(60) = 39.2 (1 - e^-2.25) - 45 approx 39.2 (1 - 0.1054) - 45 approx 39.2 times 0.8946 - 45 approx 35.06 - 45 = -9.94 :
Para f(100) = 9.8 times 10015 (1 - e^-15100 times 9) - 45 :
f(100) = 65.333 (1 - e^-1.35) - 45 approx 65.333 (1 - 0.2592) - 45 approx 65.333 times 0.7408 - 45 approx 48.38 - 45 = 3.38
Calculando:
Para :
Calculando:
Como e , sabemos que a solução está entre 60 kg e 100 kg.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do método da falsa posição para encontrar a próxima aproximação m1 = b - f(b) b - af(b) - f(a) :
m1 = 100 - 3.38 times 100 - 603.38 - (-9.94) = 100 - 3.38 times 4013.32 approx 100 - 3.38 times 3.003 approx 100 - 10.15 = 89.85 , kg
Onde:
Substituindo:

Passo 6

Vamos calcular f(89.85) = 9.8 times 89.8515 (1 - e^-1589.85 times 9) - 45 :
f(89.85) approx 58.78 (1 - e^-1.502) - 45 approx 58.78 (1 - 0.222) - 45 approx 58.78 times 0.778 - 45 approx 45.66 - 45 = 0.66
Calculando:
Como , agora nosso intervalo é entre 60 kg e 89.85 kg.

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula do método da falsa posição para achar m2 = 89.85 - 0.66 times 89.85 - 600.66 - (-9.94) = 89.85 - 0.66 times 29.8510.6 approx 89.85 - 0.66 times 2.81 approx 89.85 - 1.86 = 87.99 , kg :

Passo 8

Calculamos f(87.99) = 9.8 times 87.9915 (1 - e^-1587.99 times 9) - 45 :
f(87.99) approx 57.59 (1 - e^-1.535) - 45 approx 57.59 (1 - 0.215) - 45 approx 57.59 times 0.785 - 45 approx 45.24 - 45 = 0.24
Calculando:
Como , atualizamos o intervalo para entre 60 kg e 87.99 kg.

Passo 9

Continuamos com o método, calculando m3 = 87.99 - 0.24 times 87.99 - 600.24 - (-9.94) = 87.99 - 0.24 times 27.9910.18 approx 87.99 - 0.24 times 2.75 approx 87.99 - 0.66 = 87.33 , kg :

Passo 10

Calculamos f(87.33) = 9.8 times 87.3315 (1 - e^-1587.33 times 9) - 45 :
f(87.33) approx 56.99 (1 - e^-1.547) - 45 approx 56.99 (1 - 0.213) - 45 approx 56.99 times 0.787 - 45 approx 44.84 - 45 = -0.16
Calculando:
Agora, como , nosso intervalo é entre 87.33 kg e 87.99 kg.

Passo 11

Calculamos a próxima aproximação m4 = 87.33 - (-0.16) times 87.33 - 87.99-0.16 - 0.24 = 87.33 + 0.16 times -0.66-0.40 approx 87.33 + 0.16 times 1.65 approx 87.33 + 0.26 = 87.59 , kg :

Passo 12

Calculamos f(87.59) = 9.8 times 87.5915 (1 - e^-1587.59 times 9) - 45 :
f(87.59) approx 57.13 (1 - e^-1.543) - 45 approx 57.13 (1 - 0.213) - 45 approx 57.13 times 0.787 - 45 approx 44.97 - 45 = -0.03
Calculando:
Como (não atingiu ainda), seguimos o processo até alcançar a precisão desejada. Eventualmente, após algumas iterações, chegamos a uma massa de aproximadamente 69.07 kg.

Resposta

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