O volume de líquido em um cilindro horizontal raso de raio e comprimento se relaciona com a profundidade do líquido por:
Determine dado que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro horizontal raso com raio metros, comprimento metros e um volume de líquido metros cúbicos. A fórmula que relaciona o volume com a profundidade do líquido é:
O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor de que satisfaz essa equação com os valores dados de , e . Vamos precisar usar um pouco de trigonometria e métodos numéricos, já que a equação é um pouco complexa para resolver de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos:
Simplificando os números:

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Calculando o lado esquerdo:
Então temos:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação para . Como a equação envolve a função arco cosseno ( ) e uma raiz quadrada com dentro, não é uma equação que podemos resolver algebricamente de forma simples. Portanto, vamos usar métodos numéricos, como o método da tentativa e erro ou uma calculadora com capacidade de resolver equações.
Vamos testar alguns valores de para aproximar o resultado.

Passo 5

Vamos começar tentando metro.
Calculando cada parte:
Substituindo na equação:
Como 2,4568 < 3,4, precisamos de um maior.

Passo 6

Vamos tentar metros.
Substituindo na equação:
Agora, 4,3044 > 3,4, então é muito alto. Vamos tentar um valor entre 1 e 1,5.

Passo 7

Vamos tentar metros.
Substituindo na equação:
Estamos chegando perto! 3,17 é próximo de 3,4. Vamos tentar um pouco mais alto, como metros.

Passo 8

Teste com metros.
Substituindo:
Muito próximo de 3,4! Podemos parar por aqui ou fazer um pequeno ajuste.

Resposta

A profundidade do líquido é aproximadamente 1,25 metros.

Exercícios relacionados

Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral para .
Considerando que o valor exato desta integral , calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.
Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de . Use a aproximação inicial e itere até erro relativo .
A velocidade do paraquedista em queda livre é dada por
onde . Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto , calcule a massa do paraquedista para que a velocidade seja em . Use o método da falsa posição para determinar até o nível de . Considere que o peso do paraquedista está entre 60 kg e 100 kg .
Resposta:
Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Dada a função através da tabela abaixo, calcular o valor de:
0 0.0 5.021
1 0.5 6.146
2 1.0 6.630
3 1.5 6.945
4 2.0 7.178
5 2.5 7.364
6 3.0 7.519