O volume V de líquido em um cilindro horizontal raso de raio r e comprimento L se relaciona com a profundidade do líquido h por:
V=L2[r^2 cos ^-1(r-hr)-(r-h) raiz2 r h-h^2]
Determine h dado que r=2 m, L=5 m e V=8,5 m^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro horizontal raso com raio V = L2 [ r^2 cos^-1(r - hr) - (r - h) raiz2 r h - h^2 ] metros, comprimento metros e um volume de líquido metros cúbicos. A fórmula que relaciona o volume com a profundidade do líquido é:
O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor de que satisfaz essa equação com os valores dados de , e . Vamos precisar usar um pouco de trigonometria e métodos numéricos, já que a equação é um pouco complexa para resolver de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos:
8,5 = 52 [ 2^2 cos^-1(2 - h2) - (2 - h) raiz2 cdot 2 cdot h - h^2 ]
Simplificando os números:
8,5 = 52 [ 4 cos^-1(1 - h2) - (2 - h) raiz4h - h^2 ]

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 8,552 = 4 cos^-1(1 - h2) - (2 - h) raiz4h - h^2 :
8,52,5 = 3,4
Calculando o lado esquerdo:
3,4 = 4 cos^-1(1 - h2) - (2 - h) raiz4h - h^2
Então temos:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação para . Como a equação envolve a função arco cosseno ( ) e uma raiz quadrada com dentro, não é uma equação que podemos resolver algebricamente de forma simples. Portanto, vamos usar métodos numéricos, como o método da tentativa e erro ou uma calculadora com capacidade de resolver equações.
Vamos testar alguns valores de para aproximar o resultado.

Passo 5

Vamos começar tentando cos^-1(1 - 12) = cos^-1(0,5) = pi3 approx 1,0472 radianos metro.
Calculando cada parte:
raiz4 cdot 1 - 1^2 = raiz4 - 1 = raiz3 approx 1,732
4 cdot 1,0472 - (2 - 1) cdot 1,732 approx 4,1888 - 1,732 = 2,4568
Substituindo na equação:
Como 2,4568 < 3,4, precisamos de um maior.

Passo 6

Vamos tentar cos^-1(1 - 1,52) = cos^-1(0,25) approx 1,3181 radianos metros.
raiz4 cdot 1,5 - 1,5^2 = raiz6 - 2,25 = raiz3,75 approx 1,936
4 cdot 1,3181 - (2 - 1,5) cdot 1,936 approx 5,2724 - 0,968 approx 4,3044
Substituindo na equação:
Agora, 4,3044 > 3,4, então é muito alto. Vamos tentar um valor entre 1 e 1,5.

Passo 7

Vamos tentar cos^-1(1 - 1,22) = cos^-1(0,4) approx 1,1593 radianos metros.
raiz4 cdot 1,2 - 1,2^2 = raiz4,8 - 1,44 = raiz3,36 approx 1,834
4 cdot 1,1593 - (2 - 1,2) cdot 1,834 approx 4,6372 - 1,834 cdot 0,8 approx 4,6372 - 1,4672 approx 3,17
Substituindo na equação:
Estamos chegando perto! 3,17 é próximo de 3,4. Vamos tentar um pouco mais alto, como metros.

Passo 8

Teste com cos^-1(1 - 1,252) = cos^-1(0,375) approx 1,1868 radianos metros.
raiz4 cdot 1,25 - 1,25^2 = raiz5 - 1,5625 = raiz3,4375 approx 1,853
4 cdot 1,1868 - (2 - 1,25) cdot 1,853 approx 4,7472 - 0,75 cdot 1,853 approx 4,7472 - 1,38975 approx 3,35745
Substituindo:
Muito próximo de 3,4! Podemos parar por aqui ou fazer um pequeno ajuste.

Resposta

A profundidade do líquido é aproximadamente 1,25 metros.

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