pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com epsilon=0,1, usando x^0=(0,9 ; 1,1 ; 1,2)^t, se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear dado usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema é:
Conteúdo da matéria: Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, especificamente Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
O que precisamos: Verificar as condições de convergência, possivelmente trocar linhas ou colunas, aplicar os métodos com uma tolerância de epsilon = 0,1 e iniciar com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o sistema satisfaz as condições de convergência para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Uma das condições mais comuns é que a matriz de coeficientes seja diagonalmente dominante.
Matriz de coeficientes:
A = 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 3 & -2 & -2
Verificando a dominância diagonal:
Para cada linha, o valor absoluto do coeficiente diagonal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Linha 1: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3 → Não satisfaz
Linha 2: | -2| >= |2| + |1| Rightarrow 2 >= 3 → Não satisfaz
Linha 3: | -2| >= |3| + | -2| Rightarrow 2 >= 5 → Não satisfaz
Como nenhuma linha satisfaz a dominância diagonal, precisamos trocar linhas para tentar obter uma matriz diagonamente dominante.
Vamos tentar trocar a primeira e a terceira linha:
A' = 3 & -2 & -2 2 & -2 & 1 1 & -2 & 1
Verificando novamente:
Linha 1: |3| >= | -2| + | -2| Rightarrow 3 >= 4 → Não satisfaz
Linha 2: | -2| >= |2| + |1| Rightarrow 2 >= 3 → Não satisfaz
Linha 3: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3 → Não satisfaz
Ainda não obtivemos a dominância diagonal. Vamos tentar outra troca, por exemplo, trocar a segunda e a terceira linha do sistema original:
A'' = 1 & -2 & 1 3 & -2 & -2 2 & -2 & 1
Verificando novamente:
Linha 1: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3 → Não satisfaz
Linha 2: | -2| >= |3| + | -2| Rightarrow 2 >= 5 → Não satisfaz
Linha 3: |1| >= |2| + |1| Rightarrow 1 >= 3 → Não satisfaz
Mesmo após tentar trocar linhas, não conseguimos obter a dominância diagonal. Portanto, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel podem ainda não convergir para este sistema específico. No entanto, vamos prosseguir com os cálculos iniciais para ver se conseguimos uma aproximação.
Passo 3
Método de Gauss-Jacobi:
Este método atualiza cada variável usando os valores da iteração anterior. A fórmula geral para cada variável é:
xi^(k+1) = 1aii ( bi - sumj neq i aij xj^(k) )
Aplicando ao nosso sistema:
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
x1 = 2x2 - x3
x2 = 2x1 + x3 - 22
x3 = 3x1 - 2x2 + 12
Método de Gauss-Seidel:
Similar ao Gauss-Jacobi, mas utiliza os valores mais recentemente atualizados assim que estão disponíveis durante a iteração.
Vamos iniciar com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2.
Ainda 1,190 > 0,1, então continuamos iterando. No entanto, observamos que as variáveis estão oscilando e a diferença não está diminuindo, indicando que o método de Gauss-Jacobi pode não estar convergindo para este sistema específico.
Método de Gauss-Seidel:
Vamos agora tentar o método de Gauss-Seidel, que pode convergir mesmo quando o Gauss-Jacobi não converge.
Iteração 1 - Gauss-Seidel:
Usamos os valores mais recentes à medida que os calculamos.
Observação: Assim como no método de Gauss-Jacobi, observamos oscilações nas variáveis sem convergência clara. Isso sugere que, para este sistema específico, os métodos iterativos escolhidos não estão convergindo de maneira eficiente com o palpite inicial fornecido e a tolerância desejada.
Resposta
Após realizar as iterações dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância epsilon = 0,1, observamos que ambos os métodos não convergem para uma solução estável dentro da tolerância especificada para o sistema dado. Portanto, com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2 e epsilon = 0,1, os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não encontraram uma solução convergente para o sistema linear proposto.