Resolver o sistema linear
c x1-2 x2+x3=0 2 x1-2 x2+x3=2 3 x1-2 x2-2 x3=-1
pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com epsilon=0,1, usando x^0=(0,9 ; 1,1 ; 1,2)^t, se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear dado usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema é:
c x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 - 2x2 + x3 = 2 3x1 - 2x2 - 2x3 = -1
Conteúdo da matéria: Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, especificamente Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
O que precisamos: Verificar as condições de convergência, possivelmente trocar linhas ou colunas, aplicar os métodos com uma tolerância de epsilon = 0,1 e iniciar com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema satisfaz as condições de convergência para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Uma das condições mais comuns é que a matriz de coeficientes seja diagonalmente dominante.
Matriz de coeficientes:
A = 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 3 & -2 & -2
Verificando a dominância diagonal:
Para cada linha, o valor absoluto do coeficiente diagonal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
  • Linha 1: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3Não satisfaz
  • Linha 2: | -2| >= |2| + |1| Rightarrow 2 >= 3Não satisfaz
  • Linha 3: | -2| >= |3| + | -2| Rightarrow 2 >= 5Não satisfaz
Como nenhuma linha satisfaz a dominância diagonal, precisamos trocar linhas para tentar obter uma matriz diagonamente dominante.
Vamos tentar trocar a primeira e a terceira linha:
A' = 3 & -2 & -2 2 & -2 & 1 1 & -2 & 1
Verificando novamente:
  • Linha 1: |3| >= | -2| + | -2| Rightarrow 3 >= 4Não satisfaz
  • Linha 2: | -2| >= |2| + |1| Rightarrow 2 >= 3Não satisfaz
  • Linha 3: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3Não satisfaz
Ainda não obtivemos a dominância diagonal. Vamos tentar outra troca, por exemplo, trocar a segunda e a terceira linha do sistema original:
A'' = 1 & -2 & 1 3 & -2 & -2 2 & -2 & 1
Verificando novamente:
  • Linha 1: |1| >= | -2| + |1| Rightarrow 1 >= 3Não satisfaz
  • Linha 2: | -2| >= |3| + | -2| Rightarrow 2 >= 5Não satisfaz
  • Linha 3: |1| >= |2| + |1| Rightarrow 1 >= 3Não satisfaz
Mesmo após tentar trocar linhas, não conseguimos obter a dominância diagonal. Portanto, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel podem ainda não convergir para este sistema específico. No entanto, vamos prosseguir com os cálculos iniciais para ver se conseguimos uma aproximação.

Passo 3

Método de Gauss-Jacobi:
Este método atualiza cada variável usando os valores da iteração anterior. A fórmula geral para cada variável é:
xi^(k+1) = 1aii ( bi - sumj neq i aij xj^(k) )
Aplicando ao nosso sistema:
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
  1. x1 = 2x2 - x3
  2. x2 = 2x1 + x3 - 22
  3. x3 = 3x1 - 2x2 + 12
Método de Gauss-Seidel:
Similar ao Gauss-Jacobi, mas utiliza os valores mais recentemente atualizados assim que estão disponíveis durante a iteração.
Vamos iniciar com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2.

Passo 4

Iteração 1 - Gauss-Jacobi:
Usamos os valores de x^0 para calcular x^1:
  1. x1^(1) = 2x2^(0) - x3^(0) = 2(1,1) - 1,2 = 2,2 - 1,2 = 1,0
  2. x2^(1) = 2x1^(0) + x3^(0) - 22 = 2(0,9) + 1,2 - 22 = 1,8 + 1,2 - 22 = 1,02 = 0,5
  3. x3^(1) = 3x1^(0) - 2x2^(0) + 12 = 3(0,9) - 2(1,1) + 12 = 2,7 - 2,2 + 12 = 1,52 = 0,75
Vetores após Iteração 1:
x^(1) = 1,0 0,5 0,75
Verificando a tolerância:
Calculamos a diferença entre x^(1) e x^(0):
|x^(1) - x^(0)| = raiz(1,0 - 0,9)^2 + (0,5 - 1,1)^2 + (0,75 - 1,2)^2 approx 0,536
Como 0,536 > 0,1, precisamos continuar iterando.
Iteração 2 - Gauss-Jacobi:
  1. x1^(2) = 2x2^(1) - x3^(1) = 2(0,5) - 0,75 = 1,0 - 0,75 = 0,25
  2. x2^(2) = 2x1^(1) + x3^(1) - 22 = 2(1,0) + 0,75 - 22 = 2,0 + 0,75 - 22 = 0,752 = 0,375
  3. x3^(2) = 3x1^(1) - 2x2^(1) + 12 = 3(1,0) - 2(0,5) + 12 = 3,0 - 1,0 + 12 = 3,02 = 1,5
Vetores após Iteração 2:
x^(2) = 0,25 0,375 1,5
Verificando a tolerância:
|x^(2) - x^(1)| = raiz(0,25 - 1,0)^2 + (0,375 - 0,5)^2 + (1,5 - 0,75)^2 approx 1,0625
Como 1,0625 > 0,1, continuamos.
Iteração 3 - Gauss-Jacobi:
  1. x1^(3) = 2x2^(2) - x3^(2) = 2(0,375) - 1,5 = 0,75 - 1,5 = -0,75
  2. x2^(3) = 2x1^(2) + x3^(2) - 22 = 2(0,25) + 1,5 - 22 = 0,5 + 1,5 - 22 = 02 = 0
  3. x3^(3) = 3x1^(2) - 2x2^(2) + 12 = 3(0,25) - 2(0,375) + 12 = 0,75 - 0,75 + 12 = 12 = 0,5
Vetores após Iteração 3:
x^(3) = -0,75 0 0,5
Verificando a tolerância:
|x^(3) - x^(2)| = raiz(-0,75 - 0,25)^2 + (0 - 0,375)^2 + (0,5 - 1,5)^2 approx 1,190
Ainda 1,190 > 0,1, então continuamos iterando. No entanto, observamos que as variáveis estão oscilando e a diferença não está diminuindo, indicando que o método de Gauss-Jacobi pode não estar convergindo para este sistema específico.
Método de Gauss-Seidel:
Vamos agora tentar o método de Gauss-Seidel, que pode convergir mesmo quando o Gauss-Jacobi não converge.
Iteração 1 - Gauss-Seidel:
Usamos os valores mais recentes à medida que os calculamos.
  1. x1^(1) = 2x2^(0) - x3^(0) = 2(1,1) - 1,2 = 2,2 - 1,2 = 1,0
  2. x2^(1) = 2x1^(1) + x3^(0) - 22 = 2(1,0) + 1,2 - 22 = 2,0 + 1,2 - 22 = 1,22 = 0,6
  3. x3^(1) = 3x1^(1) - 2x2^(1) + 12 = 3(1,0) - 2(0,6) + 12 = 3,0 - 1,2 + 12 = 2,82 = 1,4
Vetores após Iteração 1:
x^(1) = 1,0 0,6 1,4
Verificando a tolerância:
|x^(1) - x^(0)| = raiz(1,0 - 0,9)^2 + (0,6 - 1,1)^2 + (1,4 - 1,2)^2 approx 0,254
Como 0,254 > 0,1, continuamos.
Iteração 2 - Gauss-Seidel:
  1. x1^(2) = 2x2^(1) - x3^(1) = 2(0,6) - 1,4 = 1,2 - 1,4 = -0,2
  2. x2^(2) = 2x1^(2) + x3^(1) - 22 = 2(-0,2) + 1,4 - 22 = -0,4 + 1,4 - 22 = -1,02 = -0,5
  3. x3^(2) = 3x1^(2) - 2x2^(2) + 12 = 3(-0,2) - 2(-0,5) + 12 = -0,6 + 1,0 + 12 = 1,42 = 0,7
Vetores após Iteração 2:
x^(2) = -0,2 -0,5 0,7
Verificando a tolerância:
|x^(2) - x^(1)| = raiz(-0,2 - 1,0)^2 + (-0,5 - 0,6)^2 + (0,7 - 1,4)^2 approx 1,480
Como 1,480 > 0,1, continuamos.
Observação: Assim como no método de Gauss-Jacobi, observamos oscilações nas variáveis sem convergência clara. Isso sugere que, para este sistema específico, os métodos iterativos escolhidos não estão convergindo de maneira eficiente com o palpite inicial fornecido e a tolerância desejada.

Resposta

Após realizar as iterações dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância epsilon = 0,1, observamos que ambos os métodos não convergem para uma solução estável dentro da tolerância especificada para o sistema dado. Portanto, com o palpite inicial x^0 = 0,9 1,1 1,2 e epsilon = 0,1, os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não encontraram uma solução convergente para o sistema linear proposto.

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