Resolver o sistema linear
pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear dado usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema é:
Conteúdo da matéria: Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, especificamente Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
O que precisamos: Verificar as condições de convergência, possivelmente trocar linhas ou colunas, aplicar os métodos com uma tolerância de e iniciar com o palpite inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema satisfaz as condições de convergência para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Uma das condições mais comuns é que a matriz de coeficientes seja diagonalmente dominante.
Matriz de coeficientes:
Verificando a dominância diagonal:
Para cada linha, o valor absoluto do coeficiente diagonal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
  • Linha 1: Não satisfaz
  • Linha 2: Não satisfaz
  • Linha 3: Não satisfaz
Como nenhuma linha satisfaz a dominância diagonal, precisamos trocar linhas para tentar obter uma matriz diagonamente dominante.
Vamos tentar trocar a primeira e a terceira linha:
Verificando novamente:
  • Linha 1: Não satisfaz
  • Linha 2: Não satisfaz
  • Linha 3: Não satisfaz
Ainda não obtivemos a dominância diagonal. Vamos tentar outra troca, por exemplo, trocar a segunda e a terceira linha do sistema original:
Verificando novamente:
  • Linha 1: Não satisfaz
  • Linha 2: Não satisfaz
  • Linha 3: Não satisfaz
Mesmo após tentar trocar linhas, não conseguimos obter a dominância diagonal. Portanto, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel podem ainda não convergir para este sistema específico. No entanto, vamos prosseguir com os cálculos iniciais para ver se conseguimos uma aproximação.

Passo 3

Método de Gauss-Jacobi:
Este método atualiza cada variável usando os valores da iteração anterior. A fórmula geral para cada variável é:
Aplicando ao nosso sistema:
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
Método de Gauss-Seidel:
Similar ao Gauss-Jacobi, mas utiliza os valores mais recentemente atualizados assim que estão disponíveis durante a iteração.
Vamos iniciar com o palpite inicial .

Passo 4

Iteração 1 - Gauss-Jacobi:
Usamos os valores de para calcular :
Vetores após Iteração 1:
Verificando a tolerância:
Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar iterando.
Iteração 2 - Gauss-Jacobi:
Vetores após Iteração 2:
Verificando a tolerância:
Como , continuamos.
Iteração 3 - Gauss-Jacobi:
Vetores após Iteração 3:
Verificando a tolerância:
Ainda , então continuamos iterando. No entanto, observamos que as variáveis estão oscilando e a diferença não está diminuindo, indicando que o método de Gauss-Jacobi pode não estar convergindo para este sistema específico.
Método de Gauss-Seidel:
Vamos agora tentar o método de Gauss-Seidel, que pode convergir mesmo quando o Gauss-Jacobi não converge.
Iteração 1 - Gauss-Seidel:
Usamos os valores mais recentes à medida que os calculamos.
Vetores após Iteração 1:
Verificando a tolerância:
Como , continuamos.
Iteração 2 - Gauss-Seidel:
Vetores após Iteração 2:
Verificando a tolerância:
Como , continuamos.
Observação: Assim como no método de Gauss-Jacobi, observamos oscilações nas variáveis sem convergência clara. Isso sugere que, para este sistema específico, os métodos iterativos escolhidos não estão convergindo de maneira eficiente com o palpite inicial fornecido e a tolerância desejada.

Resposta

Após realizar as iterações dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância , observamos que ambos os métodos não convergem para uma solução estável dentro da tolerância especificada para o sistema dado. Portanto, com o palpite inicial e , os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não encontraram uma solução convergente para o sistema linear proposto.

Exercícios relacionados

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pelos métodos:
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pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.
Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de o sistema linear não tem solução.
(i)