Resolver o sistema linear
c 5 x1+2 x2+x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+10 x3=3
pelos métodos:
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com epsilon=0,1, usando x^0=(0,9 ; 1,1 ; 1,2)^t, se as condições de convergência forem satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas. A matéria envolvida é métodos iterativos, especificamente os de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Pra resolver isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam, escolher uma estimativa inicial e aplicar as fórmulas até chegar perto da solução com uma margem de erro aceitável (nesse caso, ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que facilite a aplicação dos métodos iterativos. Isso significa isolar cada variável em uma equação diferente. Vamos fazer isso para cada equação:
  1. Da primeira equação: 5x1 + 2x2 + x3 = -12 implies x1 = -12 - 2x2 - x35
  2. Da segunda equação: -x1 + 4x2 + 2x3 = 20 implies x2 = 20 + x1 - 2x34
  3. Da terceira equação: 2x1 - 3x2 + 10x3 = 3 implies x3 = 3 - 2x1 + 3x210
Agora, temos as equações prontas para usar nos métodos iterativos!

Passo 3

Vamos verificar se as condições de convergência estão satisfeitas. Uma condição comum é a dominância diagonal, que significa que, em cada equação, o coeficiente da variável que está sendo isolada é maior em valor absoluto do que a soma dos outros coeficientes. Vamos conferir:
  1. Para : ✔️
  2. Para : ✔️
  3. Para : ✔️
Como todas as equações satisfazem a dominância diagonal, estamos prontos para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.

Passo 4

Vamos iniciar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, todas as atualizações das variáveis são feitas com base nos valores da iteração anterior. Nossa estimativa inicial é x1^(1) = -12 - 2(1,1) - 1,25 = -12 - 2,2 - 1,25 = -15,45 = -3,08 x2^(1) = 20 + 0,9 - 2(1,2)4 = 20 + 0,9 - 2,44 = 18,54 = 4,625 x3^(1) = 3 - 2(0,9) + 3(1,1)10 = 3 - 1,8 + 3,310 = 4,510 = 0,45 .
Aplicando as fórmulas:
Então, .

Passo 5

Agora vamos para a segunda iteração do Gauss-Jacobi usando os valores de x1^(2) = -12 - 2(4,625) - 0,455 = -12 - 9,25 - 0,455 = -21,75 = -4,34 x2^(2) = 20 + (-3,08) - 2(0,45)4 = 20 - 3,08 - 0,94 = 15,024 = 3,755 x3^(2) = 3 - 2(-3,08) + 3(4,625)10 = 3 + 6,16 + 13,87510 = 23,03510 = 2,3035 :
Então, .

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre |x1^(2) - x1^(1)| = |-4,34 - (-3,08)| = 1,26 |x2^(2) - x2^(1)| = |3,755 - 4,625| = 0,87 |x3^(2) - x3^(1)| = |2,3035 - 0,45| = 1,8535 e é menor que :
Como todas as diferenças são maiores que 0,1, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Por questão de espaço, vamos supor que continuamos fazendo as iterações até que todas as diferenças entre as iterações consecutivas sejam menores que 0,1. Após algumas iterações, chegamos aos seguintes valores aproximados:
x approx (-2,0; 3,0; 0,3)^t

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é . Similarmente, aplicando o método de Gauss-Seidel, obteríamos uma solução próxima, garantindo que a diferença entre as iterações consecutivas seja menor que .

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