Resolver o sistema linear
c 5 x1+2 x2+x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+10 x3=3
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
c 5 x1+2 x2+x3=-12 - x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+10 x3=3
Vamos usar duas abordagens: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar entender como manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrarmos os valores de , e .

a) Eliminação de Gauss sem estratégia de pivoteamento

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 3

Vamos começar eliminando 1 & 25 & 15 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3 das equações 2 e 3. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por 1/5 para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos eliminar Linha2 + Linha1 Rightarrow 0x1 + (4 + 25)x2 + (2 + 15)x3 = 20 - 125 das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
0x1 + 225x2 + 115x3 = 885
Simplificando:
Linha3 - 2 times Linha1 Rightarrow 0x1 + (-3 - 45)x2 + (10 - 25)x3 = 3 + 245
Para a linha 3:
0x1 - 195x2 + 485x3 = 395
Simplificando:

Passo 5

Agora, o sistema fica assim:
x1 + 25x2 + 15x3 = -125 225x2 + 115x3 = 885 -195x2 + 485x3 = 395
Vamos simplificar multiplicando as equações 2 e 3 por 5:
x1 + 25x2 + 15x3 = -125 22x2 + 11x3 = 88 -19x2 + 48x3 = 39

Passo 6

Agora, vamos eliminar 1922 times (22x2 + 11x3) = 1922 times 88 Rightarrow 19x2 + 20922x3 = 76 da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por (-19x2 + 48x3) - (19x2 + 20922x3) = 39 - 76 :
0x2 + (48 - 20922)x3 = -37
Subtraímos essa equação da equação 3:
84722x3 = -37
Simplificando:
Calculando :

Passo 7

Resolvemos para x3 = -37 times 22847 = -814847 approx -0,96 :

Passo 8

Agora, substituímos 22x2 + 11(-0,96) = 88 22x2 - 10,56 = 88 22x2 = 98,56 x2 = 98,5622 approx 4,48 na equação 2 para encontrar :

Passo 9

Por fim, substituímos x1 + 25(4,48) + 15(-0,96) = -125 x1 + 1,792 - 0,192 = -2,4 x1 + 1,6 = -2,4 x1 = -4 e na equação 1 para encontrar :

Passo 10

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. O pivoteamento parcial ajuda a evitar números muito pequenos ou grandes que podem causar erros de arredondamento.

a) Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial

Passo 11

Escrevemos novamente a matriz aumentada:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 12

No pivoteamento parcial, procuramos o maior valor absoluto na coluna que queremos usar como pivô. Vamos começar com a primeira coluna.
Os valores absolutos na primeira coluna são 5, 1 e 2. O maior é 5, então mantemos a primeira linha como está.

Passo 13

Vamos eliminar 1 & 25 & 15 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3 das linhas 2 e 3 usando a primeira linha.
Multiplicamos a primeira linha por :

Passo 14

Eliminamos Linha2 + Linha1 Rightarrow 0x1 + (4 + 25)x2 + (2 + 15)x3 = 20 - 125 das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
0x1 + 225x2 + 115x3 = 885
Simplificando:
Linha3 - 2 times Linha1 Rightarrow 0x1 + (-3 - 45)x2 + (10 - 25)x3 = 3 + 245
Para a linha 3:
0x1 - 195x2 + 485x3 = 395
Simplificando:

Passo 15

O sistema fica:
x1 + 25x2 + 15x3 = -125 225x2 + 115x3 = 885 -195x2 + 485x3 = 395
Multiplicamos as equações 2 e 3 por 5:
x1 + 25x2 + 15x3 = -125 22x2 + 11x3 = 88 -19x2 + 48x3 = 39

Passo 16

Agora, aplicamos o pivoteamento parcial na segunda coluna. Observamos as equações 2 e 3 para escolher o melhor pivô para .
Os coeficientes de são 22 e -19. O maior em valor absoluto é 22, então não precisamos trocar as linhas.

Passo 17

Vamos eliminar 1922 times (22x2 + 11x3) = 1922 times 88 Rightarrow 19x2 + 20922x3 = 76 da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por (-19x2 + 48x3) - (19x2 + 20922x3) = 39 - 76 :
0x2 + (48 - 20922)x3 = -37
Subtraímos essa equação da equação 3:
84722x3 = -37
Simplificando:
Calculando :

Passo 18

Resolvemos para x3 = -37 times 22847 = -814847 approx -0,96 :

Passo 19

Substituímos 22x2 + 11(-0,96) = 88 22x2 - 10,56 = 88 22x2 = 98,56 x2 = 98,5622 approx 4,48 na equação 2 para encontrar :

Passo 20

Finalmente, substituímos x1 + 25(4,48) + 15(-0,96) = -125 x1 + 1,792 - 0,192 = -2,4 x1 + 1,6 = -2,4 x1 = -4 e na equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial é:
x1 = -4, x2 approx 4,48, x3 approx -0,96

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