Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Vamos usar duas abordagens: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar entender como manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrarmos os valores de
,
e
.
a) Eliminação de Gauss sem estratégia de pivoteamento
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Vamos começar eliminando
1 & 25 & 15 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3 das equações 2 e 3. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por 1/5 para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos eliminar
Linha2 + Linha1 Rightarrow 0x1 + (4 + 25)x2 + (2 + 15)x3 = 20 - 125 das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Simplificando:
Para a linha 3:
Simplificando:
Passo 5
Agora, o sistema fica assim:
Vamos simplificar multiplicando as equações 2 e 3 por 5:
Passo 6
Agora, vamos eliminar
1922 times (22x2 + 11x3) = 1922 times 88 Rightarrow 19x2 + 20922x3 = 76 da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por
(-19x2 + 48x3) - (19x2 + 20922x3) = 39 - 76 :
Subtraímos essa equação da equação 3:
Simplificando:
Calculando
:
Passo 7
Resolvemos para
x3 = -37 times 22847 = -814847 approx -0,96 :
Passo 8
Agora, substituímos
22x2 + 11(-0,96) = 88 22x2 - 10,56 = 88 22x2 = 98,56 x2 = 98,5622 approx 4,48 na equação 2 para encontrar
:
Passo 9
Por fim, substituímos
x1 + 25(4,48) + 15(-0,96) = -125 x1 + 1,792 - 0,192 = -2,4 x1 + 1,6 = -2,4 x1 = -4 e
na equação 1 para encontrar
:
Passo 10
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. O pivoteamento parcial ajuda a evitar números muito pequenos ou grandes que podem causar erros de arredondamento.
a) Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial
Passo 11
Escrevemos novamente a matriz aumentada:
Passo 12
No pivoteamento parcial, procuramos o maior valor absoluto na coluna que queremos usar como pivô. Vamos começar com a primeira coluna.
Os valores absolutos na primeira coluna são 5, 1 e 2. O maior é 5, então mantemos a primeira linha como está.
Passo 13
Vamos eliminar
1 & 25 & 15 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3 das linhas 2 e 3 usando a primeira linha.
Multiplicamos a primeira linha por
:
Passo 14
Eliminamos
Linha2 + Linha1 Rightarrow 0x1 + (4 + 25)x2 + (2 + 15)x3 = 20 - 125 das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Simplificando:
Para a linha 3:
Simplificando:
Passo 15
O sistema fica:
Multiplicamos as equações 2 e 3 por 5:
Passo 16
Agora, aplicamos o pivoteamento parcial na segunda coluna. Observamos as equações 2 e 3 para escolher o melhor pivô para
.
Os coeficientes de
são 22 e -19. O maior em valor absoluto é 22, então não precisamos trocar as linhas.
Passo 17
Vamos eliminar
1922 times (22x2 + 11x3) = 1922 times 88 Rightarrow 19x2 + 20922x3 = 76 da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por
(-19x2 + 48x3) - (19x2 + 20922x3) = 39 - 76 :
Subtraímos essa equação da equação 3:
Simplificando:
Calculando
:
Passo 18
Resolvemos para
x3 = -37 times 22847 = -814847 approx -0,96 :
Passo 19
Substituímos
22x2 + 11(-0,96) = 88 22x2 - 10,56 = 88 22x2 = 98,56 x2 = 98,5622 approx 4,48 na equação 2 para encontrar
:
Passo 20
Finalmente, substituímos
x1 + 25(4,48) + 15(-0,96) = -125 x1 + 1,792 - 0,192 = -2,4 x1 + 1,6 = -2,4 x1 = -4 e
na equação 1 para encontrar
:
Resposta
A solução do sistema pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial é: