Resolver o sistema linear pelos métodos: a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é: Vamos usar duas abordagens: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar entender como manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrarmos os valores de , e . ## a) Eliminação de Gauss sem estratégia de pivoteamento ##

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada: ##

Passo 3

Vamos começar eliminando das equações 2 e 3. Para isso, usamos a primeira linha como referência. Multiplicamos a primeira linha por 1/5 para facilitar: ##

Passo 4

Agora, vamos eliminar das linhas 2 e 3. Para a linha 2: Simplificando: Para a linha 3: Simplificando: ##

Passo 5

Agora, o sistema fica assim: Vamos simplificar multiplicando as equações 2 e 3 por 5: ##

Passo 6

Agora, vamos eliminar da equação 3 usando a equação 2. Multiplicamos a equação 2 por : Subtraímos essa equação da equação 3: Simplificando: Calculando : ##

Passo 7

Resolvemos para : ##

Passo 8

Agora, substituímos na equação 2 para encontrar : ##

Passo 9

Por fim, substituímos e na equação 1 para encontrar :

Passo 10

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. O pivoteamento parcial ajuda a evitar números muito pequenos ou grandes que podem causar erros de arredondamento. ## a) Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial ##

Passo 11

Escrevemos novamente a matriz aumentada: ##

Passo 12

No pivoteamento parcial, procuramos o maior valor absoluto na coluna que queremos usar como pivô. Vamos começar com a primeira coluna. Os valores absolutos na primeira coluna são 5, 1 e 2. O maior é 5, então mantemos a primeira linha como está. ##

Passo 13

Vamos eliminar das linhas 2 e 3 usando a primeira linha. Multiplicamos a primeira linha por : ##

Passo 14

Eliminamos das linhas 2 e 3. Para a linha 2: Simplificando: Para a linha 3: Simplificando: ##

Passo 15

O sistema fica: Multiplicamos as equações 2 e 3 por 5: ##

Passo 16

Agora, aplicamos o pivoteamento parcial na segunda coluna. Observamos as equações 2 e 3 para escolher o melhor pivô para . Os coeficientes de são 22 e -19. O maior em valor absoluto é 22, então não precisamos trocar as linhas. ##

Passo 17

Vamos eliminar da equação 3 usando a equação 2. Multiplicamos a equação 2 por : Subtraímos essa equação da equação 3: Simplificando: Calculando : ##

Passo 18

Resolvemos para : ##

Passo 19

Substituímos na equação 2 para encontrar : ##

Passo 20

Finalmente, substituímos e na equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial é:

Exercícios relacionados

Resolver o sistema linear pelos métodos: a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
Resolver o sistema linear pelos métodos: c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas (use troca de linhas e/ou colunas se for necessário).
Resolver o sistema linear pelos métodos: c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.