Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Vamos usar duas abordagens: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar entender como manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrarmos os valores de , e .
## a) Eliminação de Gauss sem estratégia de pivoteamento
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Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
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Passo 3
Vamos começar eliminando das equações 2 e 3. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por 1/5 para facilitar:
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Passo 4
Agora, vamos eliminar das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Simplificando:
Para a linha 3:
Simplificando:
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Passo 5
Agora, o sistema fica assim:
Vamos simplificar multiplicando as equações 2 e 3 por 5:
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Passo 6
Agora, vamos eliminar da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por :
Subtraímos essa equação da equação 3:
Simplificando:
Calculando :
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Passo 7
Resolvemos para :
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Passo 8
Agora, substituímos na equação 2 para encontrar :
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Passo 9
Por fim, substituímos e na equação 1 para encontrar :
Passo 10
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. O pivoteamento parcial ajuda a evitar números muito pequenos ou grandes que podem causar erros de arredondamento.
## a) Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial
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Passo 11
Escrevemos novamente a matriz aumentada:
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Passo 12
No pivoteamento parcial, procuramos o maior valor absoluto na coluna que queremos usar como pivô. Vamos começar com a primeira coluna.
Os valores absolutos na primeira coluna são 5, 1 e 2. O maior é 5, então mantemos a primeira linha como está.
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Passo 13
Vamos eliminar das linhas 2 e 3 usando a primeira linha.
Multiplicamos a primeira linha por :
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Passo 14
Eliminamos das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Simplificando:
Para a linha 3:
Simplificando:
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Passo 15
O sistema fica:
Multiplicamos as equações 2 e 3 por 5:
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Passo 16
Agora, aplicamos o pivoteamento parcial na segunda coluna. Observamos as equações 2 e 3 para escolher o melhor pivô para .
Os coeficientes de são 22 e -19. O maior em valor absoluto é 22, então não precisamos trocar as linhas.
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Passo 17
Vamos eliminar da equação 3 usando a equação 2.
Multiplicamos a equação 2 por :
Subtraímos essa equação da equação 3:
Simplificando:
Calculando :
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Passo 18
Resolvemos para :
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Passo 19
Substituímos na equação 2 para encontrar :
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Passo 20
Finalmente, substituímos e na equação 1 para encontrar :
Resposta
A solução do sistema pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial é: