Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
c) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição 4x1 - x2 + 3x3 + 8x4 = 43 x1 + 6x2 + 2x3 - 3x4 = 7 5x1 + 5x2 + x3 = 18 2x1 + 4x2 - 2x3 + x4 = 8 com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (inferior) e (superior), além de aplicar a pivotação parcial para melhorar a estabilidade numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 , b = 43 7 18 8 e o vetor de constantes :
A ideia é decompor em onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Antes de começar a decomposição, aplicamos a pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, trocamos linhas para garantir que o maior elemento da coluna atual esteja na posição de pivô. Isso ajuda a evitar divisões por números muito pequenos, aumentando a precisão dos cálculos.
No primeiro passo, observamos a primeira coluna de 4 1 5 2 :
O maior valor em termos absolutos é 5, localizado na terceira linha. Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
Passo 4
Agora, começamos a decomposição m21 = 15 = 0.2, m31 = 45 = 0.8, m41 = 25 = 0.4 . O primeiro elemento 1 - 0.2 times 5 = 0, 6 - 0.2 times 5 = 5, 2 - 0.2 times 1 = 1.8, -3 - 0.2 times 0 = -3 . Vamos calcular os multiplicadores para as outras linhas na primeira coluna:
4 - 0.8 times 5 = 0, -1 - 0.8 times 5 = -5, 3 - 0.8 times 1 = 2.2, 8 - 0.8 times 0 = 8
Subtraímos 2 - 0.4 times 5 = 0, 4 - 0.4 times 5 = 2, -2 - 0.4 times 1 = -2.4, 1 - 0.4 times 0 = 1 vezes a primeira linha da U = 5 & 5 & 1 & 0 0 & 5 & 1.8 & -3 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 2 & -2.4 & 1 -ésima linha para zerar os elementos abaixo do pivô:
Continuamos a decomposição na segunda coluna. Primeiro, verificamos a pivotação parcial na sub-matriz:
5 & 1.8 & -3 -5 & 2.2 & 8 2 & -2.4 & 1
O maior valor em termos absolutos é 5 (da segunda linha, mas como já temos um -5, escolhemos a segunda linha). Então, trocamos a segunda e a terceira linhas para manter a estabilidade:
Agora, o pivô na segunda coluna é -5. Vamos calcular os multiplicadores para as linhas abaixo:
m32 = 5-5 = -1, m42 = 2-5 = -0.4
Subtraímos 0 - (-1) times 0 = 0, 5 - (-1) times (-5) = 0, 1.8 - (-1) times 2.2 = 4, -3 - (-1) times 8 = 5 vezes a segunda linha da 0 - (-0.4) times 0 = 0, 2 - (-0.4) times (-5) = 0, -2.4 - (-0.4) times 2.2 = -1.76, 1 - (-0.4) times 8 = 4.2 -ésima linha:
Continuamos com a terceira coluna. Verificamos a sub-matriz:
4 & 5 -1.76 & 4.2
O maior valor absoluto é 4.2, então não precisamos trocar linhas. O pivô é 4.
Calculamos o multiplicador para a quarta linha:
m43 = -1.764 = -0.44
Subtraímos 0 - (-0.44) times 0 = 0, 0 - (-0.44) times 0 = 0, -1.76 - (-0.44) times 4 = 0, 4.2 - (-0.44) times 5 = 6.4 vezes a terceira linha da quarta linha: