Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
c) Com pivotação parcial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (inferior) e (superior), além de aplicar a pivotação parcial para melhorar a estabilidade numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o vetor de constantes :
A ideia é decompor em onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Antes de começar a decomposição, aplicamos a pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, trocamos linhas para garantir que o maior elemento da coluna atual esteja na posição de pivô. Isso ajuda a evitar divisões por números muito pequenos, aumentando a precisão dos cálculos.
No primeiro passo, observamos a primeira coluna de :
O maior valor em termos absolutos é 5, localizado na terceira linha. Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:

Passo 4

Agora, começamos a decomposição . O primeiro elemento . Vamos calcular os multiplicadores para as outras linhas na primeira coluna:
Subtraímos vezes a primeira linha da -ésima linha para zerar os elementos abaixo do pivô:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz fica assim:
E a matriz até agora:

Passo 5

Continuamos a decomposição na segunda coluna. Primeiro, verificamos a pivotação parcial na sub-matriz:
O maior valor em termos absolutos é 5 (da segunda linha, mas como já temos um -5, escolhemos a segunda linha). Então, trocamos a segunda e a terceira linhas para manter a estabilidade:

Passo 6

Agora, o pivô na segunda coluna é -5. Vamos calcular os multiplicadores para as linhas abaixo:
Subtraímos vezes a segunda linha da -ésima linha:
Linha 3:
Linha 4:
Atualizando :
E :

Passo 7

Continuamos com a terceira coluna. Verificamos a sub-matriz:
O maior valor absoluto é 4.2, então não precisamos trocar linhas. O pivô é 4.
Calculamos o multiplicador para a quarta linha:
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha 4:
Atualizando :
E :

Passo 8

Agora que temos , podemos resolver o sistema em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Vamos começar resolvendo .

Passo 9

Resolvendo :

[


]
Resolvemos de cima para baixo:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Terceira equação:
  1. Quarta equação:
Então, .

Passo 10

Agora, resolvemos :

[


]
Resolvemos de baixo para cima:
  1. Quarta equação:
  1. Terceira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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