Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição L U, com a estratégia indicada.
c) Com pivotação parcial
(rrrr 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 )(l x1 x2 x3 x4 )=(r 43 7 18 8 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição 4x1 - x2 + 3x3 + 8x4 = 43 x1 + 6x2 + 2x3 - 3x4 = 7 5x1 + 5x2 + x3 = 18 2x1 + 4x2 - 2x3 + x4 = 8 com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (inferior) e (superior), além de aplicar a pivotação parcial para melhorar a estabilidade numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 , b = 43 7 18 8 e o vetor de constantes :
A ideia é decompor em onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Antes de começar a decomposição, aplicamos a pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, trocamos linhas para garantir que o maior elemento da coluna atual esteja na posição de pivô. Isso ajuda a evitar divisões por números muito pequenos, aumentando a precisão dos cálculos.
No primeiro passo, observamos a primeira coluna de 4 1 5 2 :
A 5 & 5 & 1 & 0 1 & 6 & 2 & -3 4 & -1 & 3 & 8 2 & 4 & -2 & 1 , b 18 7 43 8
O maior valor em termos absolutos é 5, localizado na terceira linha. Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:

Passo 4

Agora, começamos a decomposição m21 = 15 = 0.2, m31 = 45 = 0.8, m41 = 25 = 0.4 . O primeiro elemento 1 - 0.2 times 5 = 0, 6 - 0.2 times 5 = 5, 2 - 0.2 times 1 = 1.8, -3 - 0.2 times 0 = -3 . Vamos calcular os multiplicadores para as outras linhas na primeira coluna:
4 - 0.8 times 5 = 0, -1 - 0.8 times 5 = -5, 3 - 0.8 times 1 = 2.2, 8 - 0.8 times 0 = 8
Subtraímos 2 - 0.4 times 5 = 0, 4 - 0.4 times 5 = 2, -2 - 0.4 times 1 = -2.4, 1 - 0.4 times 0 = 1 vezes a primeira linha da U = 5 & 5 & 1 & 0 0 & 5 & 1.8 & -3 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 2 & -2.4 & 1 -ésima linha para zerar os elementos abaixo do pivô:
Linha 2: L = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 0.8 & 0 & 1 & 0 0.4 & 0 & 0 & 1
Linha 3:
Linha 4:
A matriz fica assim:
E a matriz até agora:

Passo 5

Continuamos a decomposição na segunda coluna. Primeiro, verificamos a pivotação parcial na sub-matriz:
5 & 1.8 & -3 -5 & 2.2 & 8 2 & -2.4 & 1
O maior valor em termos absolutos é 5 (da segunda linha, mas como já temos um -5, escolhemos a segunda linha). Então, trocamos a segunda e a terceira linhas para manter a estabilidade:
U = 5 & 5 & 1 & 0 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 5 & 1.8 & -3 0 & 2 & -2.4 & 1 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 0.8 & -1 & 1 & 0 0.4 & 0 & 0 & 1

Passo 6

Agora, o pivô na segunda coluna é -5. Vamos calcular os multiplicadores para as linhas abaixo:
m32 = 5-5 = -1, m42 = 2-5 = -0.4
Subtraímos 0 - (-1) times 0 = 0, 5 - (-1) times (-5) = 0, 1.8 - (-1) times 2.2 = 4, -3 - (-1) times 8 = 5 vezes a segunda linha da 0 - (-0.4) times 0 = 0, 2 - (-0.4) times (-5) = 0, -2.4 - (-0.4) times 2.2 = -1.76, 1 - (-0.4) times 8 = 4.2 -ésima linha:
Linha 3: U = 5 & 5 & 1 & 0 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 0 & 4 & 5 0 & 0 & -1.76 & 4.2
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 0.8 & -1 & 1 & 0 0.4 & -0.4 & 0 & 1
Linha 4:
Atualizando :
E :

Passo 7

Continuamos com a terceira coluna. Verificamos a sub-matriz:
4 & 5 -1.76 & 4.2
O maior valor absoluto é 4.2, então não precisamos trocar linhas. O pivô é 4.
Calculamos o multiplicador para a quarta linha:
m43 = -1.764 = -0.44
Subtraímos 0 - (-0.44) times 0 = 0, 0 - (-0.44) times 0 = 0, -1.76 - (-0.44) times 4 = 0, 4.2 - (-0.44) times 5 = 6.4 vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha 4: U = 5 & 5 & 1 & 0 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 & 6.4
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 0.8 & -1 & 1 & 0 0.4 & -0.4 & -0.44 & 1
Atualizando :
E :

Passo 8

Agora que temos , podemos resolver o sistema em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Vamos começar resolvendo .

Passo 9

Resolvendo 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 0.8 & -1 & 1 & 0 0.4 & -0.4 & -0.44 & 1 y1 y2 y3 y4 = 18 7 43 8 :

[
y1 = 18
0.2 times 18 + y2 = 7 implies 3.6 + y2 = 7 implies y2 = 3.4

0.8 times 18 - 1 times 3.4 + y3 = 43 implies 14.4 - 3.4 + y3 = 43 implies y3 = 43 - 11 = 32
]
Resolvemos de cima para baixo:
  1. Primeira equação:
0.4 times 18 - 0.4 times 3.4 - 0.44 times 32 + y4 = 8 implies 7.2 - 1.36 - 14.08 + y4 = 8 implies y4 = 8 + 8.24 = 16.24
  1. Segunda equação:
18 3.4 32 16.24
  1. Terceira equação:
  1. Quarta equação:
Então, .

Passo 10

Agora, resolvemos 5 & 5 & 1 & 0 0 & -5 & 2.2 & 8 0 & 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 & 6.4 x1 x2 x3 x4 = 18 3.4 32 16.24 :

[
6.4 x4 = 16.24 implies x4 = 16.246.4 = 2.54
4 x3 + 5 times 2.54 = 32 implies 4 x3 + 12.7 = 32 implies 4 x3 = 19.3 implies x3 = 4.825

-5 x2 + 2.2 times 4.825 + 8 times 2.54 = 3.4 implies -5 x2 + 10.615 + 20.32 = 3.4 implies -5 x2 = -27.535 implies x2 = 5.507
]
Resolvemos de baixo para cima:
  1. Quarta equação:
5 x1 + 5 times 5.507 + 1 times 4.825 = 18 implies 5 x1 + 27.535 + 4.825 = 18 implies 5 x1 = -14.36 implies x1 = -2.872
  1. Terceira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -2.872 x2 = 5.507 x3 = 4.825 x4 = 2.54

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