Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
c) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (inferior) e (superior), além de aplicar a pivotação parcial para melhorar a estabilidade numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o vetor de constantes :
A ideia é decompor em onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Antes de começar a decomposição, aplicamos a pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, trocamos linhas para garantir que o maior elemento da coluna atual esteja na posição de pivô. Isso ajuda a evitar divisões por números muito pequenos, aumentando a precisão dos cálculos.
No primeiro passo, observamos a primeira coluna de :
O maior valor em termos absolutos é 5, localizado na terceira linha. Então, trocamos a primeira e a terceira linhas:
Passo 4
Agora, começamos a decomposição . O primeiro elemento . Vamos calcular os multiplicadores para as outras linhas na primeira coluna:
Subtraímos vezes a primeira linha da -ésima linha para zerar os elementos abaixo do pivô:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz fica assim:
E a matriz até agora:
Passo 5
Continuamos a decomposição na segunda coluna. Primeiro, verificamos a pivotação parcial na sub-matriz:
O maior valor em termos absolutos é 5 (da segunda linha, mas como já temos um -5, escolhemos a segunda linha). Então, trocamos a segunda e a terceira linhas para manter a estabilidade:
Passo 6
Agora, o pivô na segunda coluna é -5. Vamos calcular os multiplicadores para as linhas abaixo:
Subtraímos vezes a segunda linha da -ésima linha:
Linha 3:
Linha 4:
Atualizando :
E :
Passo 7
Continuamos com a terceira coluna. Verificamos a sub-matriz:
O maior valor absoluto é 4.2, então não precisamos trocar linhas. O pivô é 4.
Calculamos o multiplicador para a quarta linha:
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha 4:
Atualizando :
E :
Passo 8
Agora que temos , podemos resolver o sistema em duas etapas: