Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
e) Com pivotação parcial
(rrrrr 0 & 1 & 3 & 2 & 4 8 & -2 & 9 & -1 & 2 5 & 1 & 1 & 7 & 2 -2 & 4 & 5 & 1 & 0 7 & -3 & 2 & -4 & 1 )(l x1 x2 x3 x4 x5 )=(r 3 -5 6 -1 8 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial. A eliminção de Gauss é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando a matriz aumentada em uma forma triangular. A pivotação parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique no topo durante o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
0 & 1 & 3 & 2 & 4 & | & 3 8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 5 & 1 & 1 & 7 & 2 & | & 6 -2 & 4 & 5 & 1 & 0 & | & -1 7 & -3 & 2 & -4 & 1 & | & 8

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (a primeira coluna). Contudo, o primeiro elemento é zero, então precisamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um elemento diferente de zero na primeira posição. A maior valor absoluto na primeira coluna é 8 na segunda linha, então vamos trocar a linha 1 com a linha 2:
8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 1 & 3 & 2 & 4 & | & 3 5 & 1 & 1 & 7 & 2 & | & 6 -2 & 4 & 5 & 1 & 0 & | & -1 7 & -3 & 2 & -4 & 1 & | & 8

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na primeira coluna.
Para a linha 3:
L3 = L3 - (58)L1
Para a linha 4:
L4 = L4 + (28)L1
Para a linha 5:
L5 = L5 - (78)L1
Aplicando essas operações:
8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 1 & 3 & 2 & 4 & | & 3 0 & 94 & -378 & 598 & 74 & | & 558 0 & 74 & 194 & 12 & 12 & | & -114 0 & -114 & -558 & -258 & -34 & | & 518

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna e escolher o próximo pivô. Olhando para os elementos abaixo da segunda posição na segunda coluna, o maior valor absoluto é 8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 94 & -378 & 598 & 74 & | & 558 0 & 1 & 3 & 2 & 4 & | & 3 0 & 74 & 194 & 12 & 12 & | & -114 0 & -114 & -558 & -258 & -34 & | & 518 na linha 3. Vamos trocar a linha 2 com a linha 3 para ter um pivô maior:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo do novo pivô na segunda coluna. Precisamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na segunda coluna.
Para a linha 3:
L3 = L3 - (194)L2 = L3 - (49)L2
Para a linha 4:
L4 = L4 - (7494)L2 = L4 - (79)L2
Para a linha 5:
L5 = L5 - (-11494)L2 = L5 + (119)L2
Aplicando essas operações:
8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 94 & -378 & 598 & 74 & | & 558 0 & 0 & 299 & 59 & 259 & | & 179 0 & 0 & 589 & -3736 & -3136 & | & -10336 0 & 0 & -1372 & -10172 & -59 & | & 19172

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna e escolher o próximo pivô. O maior valor absoluto é 8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 94 & -378 & 598 & 74 & | & 558 0 & 0 & 589 & -3736 & -3136 & | & -10336 0 & 0 & 299 & 59 & 259 & | & 179 0 & 0 & -1372 & -10172 & -59 & | & 19172 na linha 4. Vamos trocar a linha 3 com a linha 4:

Passo 8

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na terceira coluna.
Para a linha 4:
L4 = L4 - (299589)L3 = L4 - (12)L3
Para a linha 5:
L5 = L5 - (-1372589)L3 = L5 + (1372 times 958)L3
Aplicando essas operações:
8 & -2 & 9 & -1 & 2 & | & -5 0 & 94 & -378 & 598 & 74 & | & 558 0 & 0 & 589 & -3736 & -3136 & | & -10336 0 & 0 & 0 & 3736 & 5336 & | & 14536 0 & 0 & 0 & -10172 + (1372 times 3736) & -59 + (1372 times -3136) & | & 19172 + (1372 times -10336)
Simplificando a linha 5:
L5 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + (-10172 + 4812592)x4 + (-59 - 4032592)x5 = (19172 - 13392592)
Calculando os valores:
-10172 + 4812592 = -3632592 -59 - 4032592 = -16002592 19172 - 13392592 = 3442592
Portanto, a linha 5 fica:
0x1 + 0x2 + 0x3 -3632592x4 -16002592x5 = 3442592

Passo 9

Agora, temos a matriz triangularizada. Vamos resolver a partir da última equação.
Na linha 5:
-3632592x4 -16002592x5 = 3442592
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -363x4 -1600x5 = 344 :
x5 = -363x4 - 3441600
Vamos resolver para em termos de :

Passo 10

Substituímos 3736x4 + 5336x5 = 14536 na linha 4:
3736x4 + 5336(-363x4 - 3441600) = 14536
Substituindo 37 times 1600 x4 + 53(-363x4 - 344) = 145 times 1600 :
59200x4 - 19239x4 - 18272 = 232000 39961x4 = 250272 x4 = 25027239961 approx 6.258
Multiplicando todos os termos por 1600 para eliminar os denominadores:
Calculando:

Passo 11

Agora que temos x5 = -363 times 6.258 - 3441600 approx -2270.454 - 3441600 approx -2614.4541600 approx -1.633 , vamos encontrar :

Passo 12

Substituímos 589x3 - 3736x4 - 3136x5 = -10336 e 589x3 - 3736 times 6.258 - 3136 times (-1.633) = -10336 na linha 3:
589x3 - 6.425 - (-1.401) = -2.861 589x3 - 5.024 = -2.861 589x3 = 2.163 x3 = 2.163 times 958 approx 0.336
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 13

Agora, substituímos 94x2 - 378x3 + 598x4 + 74x5 = 558 , 94x2 - 378 times 0.336 + 598 times 6.258 + 74 times (-1.633) = 558 e 94x2 - 1.56 + 46.041 - 2.866 = 6.875 94x2 + 41.615 = 6.875 94x2 = -34.740 x2 = -34.740 times 49 approx -15.44 na linha 2:
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 14

Por fim, substituímos todos os valores encontrados na linha 1 para encontrar 8x1 - 2x2 + 9x3 - x4 + 2x5 = -5 :
8x1 - 2(-15.44) + 9(0.336) - 6.258 + 2(-1.633) = -5
Substituindo:
8x1 + 30.88 + 3.024 - 6.258 - 3.266 = -5 8x1 + 24.38 = -5 8x1 = -29.38 x1 = -29.388 approx -3.672
Calculando:

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x1 approx -3.672 x2 approx -15.440 x3 approx 0.336 x4 approx 6.258 x5 approx -1.633

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