Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
e) Com pivotação parcial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial. A eliminção de Gauss é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando a matriz aumentada em uma forma triangular. A pivotação parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique no topo durante o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (a primeira coluna). Contudo, o primeiro elemento é zero, então precisamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um elemento diferente de zero na primeira posição. A maior valor absoluto na primeira coluna é 8 na segunda linha, então vamos trocar a linha 1 com a linha 2:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na primeira coluna.
Para a linha 3:
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna e escolher o próximo pivô. Olhando para os elementos abaixo da segunda posição na segunda coluna, o maior valor absoluto é na linha 3. Vamos trocar a linha 2 com a linha 3 para ter um pivô maior:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo do novo pivô na segunda coluna. Precisamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na segunda coluna.
Para a linha 3:
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna e escolher o próximo pivô. O maior valor absoluto é na linha 4. Vamos trocar a linha 3 com a linha 4:

Passo 8

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na terceira coluna.
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:
Simplificando a linha 5:
Calculando os valores:
Portanto, a linha 5 fica:

Passo 9

Agora, temos a matriz triangularizada. Vamos resolver a partir da última equação.
Na linha 5:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Vamos resolver para em termos de :

Passo 10

Substituímos na linha 4:
Substituindo :
Multiplicando todos os termos por 1600 para eliminar os denominadores:
Calculando:

Passo 11

Agora que temos , vamos encontrar :

Passo 12

Substituímos e na linha 3:
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 13

Agora, substituímos , e na linha 2:
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 14

Por fim, substituímos todos os valores encontrados na linha 1 para encontrar :
Substituindo:
Calculando:

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:

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