Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
e) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial. A eliminção de Gauss é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando a matriz aumentada em uma forma triangular. A pivotação parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique no topo durante o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (a primeira coluna). Contudo, o primeiro elemento é zero, então precisamos trocar a primeira linha com uma das outras que tenha um elemento diferente de zero na primeira posição. A maior valor absoluto na primeira coluna é 8 na segunda linha, então vamos trocar a linha 1 com a linha 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na primeira coluna.
Para a linha 3:
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna e escolher o próximo pivô. Olhando para os elementos abaixo da segunda posição na segunda coluna, o maior valor absoluto é na linha 3. Vamos trocar a linha 2 com a linha 3 para ter um pivô maior:
Passo 6
Vamos eliminar os elementos abaixo do novo pivô na segunda coluna. Precisamos zerar os elementos das linhas 3, 4 e 5 na segunda coluna.
Para a linha 3:
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira coluna e escolher o próximo pivô. O maior valor absoluto é na linha 4. Vamos trocar a linha 3 com a linha 4:
Passo 8
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na terceira coluna.
Para a linha 4:
Para a linha 5:
Aplicando essas operações:
Simplificando a linha 5:
Calculando os valores:
Portanto, a linha 5 fica:
Passo 9
Agora, temos a matriz triangularizada. Vamos resolver a partir da última equação.
Na linha 5:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Vamos resolver para em termos de :
Passo 10
Substituímos na linha 4:
Substituindo :
Multiplicando todos os termos por 1600 para eliminar os denominadores:
Calculando:
Passo 11
Agora que temos , vamos encontrar :
Passo 12
Substituímos e na linha 3:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 13
Agora, substituímos , e na linha 2:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 14
Por fim, substituímos todos os valores encontrados na linha 1 para encontrar :