Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
d) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar as operações necessárias para chegar na solução. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotação parcial e com pivotação parcial, para comparar os resultados no final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o processo de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
**Etapa 1:** Usamos o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivot) para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Para eliminar o 5 da segunda linha:
- Multiplicamos a primeira linha por e somamos à segunda linha.
Fazendo isso, a segunda linha fica:
Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta linhas.
**Etapa 2:** Eliminamos o 1 da terceira linha:
Fica:
**Etapa 3:** Eliminamos o 4 da quarta linha:
Fica:
Passo 4
Continuando a eliminação sem pivotação parcial:
**Etapa 4:** Agora, usamos o elemento na segunda linha e segunda coluna (-6.5) como pivot para eliminar os elementos abaixo dele.
Para eliminar o -1 da terceira linha:
Fazendo isso, a terceira linha fica:
Para eliminar o 0 da quarta linha, não precisamos fazer nada, já que já está zero.
**Etapa 5:** Como a terceira linha é toda zero, passamos para a quarta linha e usamos -12.5 como pivot. No entanto, isso indica que o sistema pode ser indeterminado ou ter infinitas soluções. Mas vamos verificar na próxima etapa.
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema triangular que obtivemos:
Como a terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional, podemos atribuir um valor arbitrário a uma das variáveis. Vamos escolher , onde é um parâmetro livre.
Substituindo na segunda equação:
Podemos escolher , outro parâmetro livre. Assim, temos:
Resolvendo para :
Agora, substituímos e na primeira equação:
Passo 6
Agora, temos as soluções gerais do sistema sem pivotação parcial:
Isso significa que há infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .
Passo 7
Agora, vamos resolver o mesmo sistema, mas desta vez aplicando a **pivotação parcial**. Isso ajuda a evitar erros numéricos e melhora a estabilidade do método.
**Etapa 1:** Começamos novamente com a matriz aumentada:
**Pivotação Parcial:** Olhamos para a primeira coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Nesse caso, o maior valor é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha pela segunda.
Passo 8
**Etapa 2:** Agora, usamos o pivot (5) para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
Para eliminar o -2 da segunda linha:
Fazendo isso, a segunda linha fica:
Para eliminar o 1 da terceira linha:
Fica:
Para eliminar o 4 da quarta linha:
Fica:
Passo 9
**Etapa 3:** Agora, focamos na segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Observamos que 5.8 na terceira linha é o maior. Vamos trocar a segunda linha com a terceira.
Passo 10
**Etapa 4:** Usamos o pivot 5.8 para eliminar os elementos abaixo na segunda coluna.
Para eliminar o 3.4 da terceira linha:
Fazendo isso, a terceira linha fica:
Para eliminar o 4.2 da quarta linha:
Fica:
Passo 11
**Etapa 5:** Agora, focamos na terceira coluna. O pivot é -1.379 na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar o elemento 1.69 na quarta linha.
Depois de realizar a operação, a quarta linha fica:
Passo 12
Agora, temos a matriz triangular superior com pivotação parcial:
Vamos resolver agora pelas equações obtidas.
Passo 13
**Resolvendo as equações:**
Da quarta linha:
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Da primeira linha:
Passo 14
**Resposta Final:**
Após resolver o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, encontramos a solução única: