Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
d) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados.
(rrrr -2 & 3 & 1 & 5 5 & 1 & -1 & 0 1 & 6 & 3 & -1 4 & 5 & 2 & 8 )(l x1 x2 x3 x4 )=(r 2 -1 0 6 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar as operações necessárias para chegar na solução. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotação parcial e com pivotação parcial, para comparar os resultados no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o processo de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Etapa 1: Usamos o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivot) para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Para eliminar o 5 da segunda linha:
  • Multiplicamos a primeira linha por Linha2 = Linha2 + (-2.5) times Linha1 e somamos à segunda linha.
0 -6.5 -3.5 -12.5 | -6
Fazendo isso, a segunda linha fica:
Linha3 = Linha3 + 1 times Linha1
Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta linhas.
Etapa 2: Eliminamos o 1 da terceira linha:
-1 9 4 4 | 2
Fica:
Linha4 = Linha4 + 2 times Linha1
Etapa 3: Eliminamos o 4 da quarta linha:
0 11 4 18 | 10
Fica:

Passo 4

Continuando a eliminação sem pivotação parcial:
Etapa 4: Agora, usamos o elemento na segunda linha e segunda coluna (-6.5) como pivot para eliminar os elementos abaixo dele.
Para eliminar o -1 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - ( -1-6.5 ) times Linha2
Fazendo isso, a terceira linha fica:
0 0 0 0 | 0
Para eliminar o 0 da quarta linha, não precisamos fazer nada, já que já está zero.
Etapa 5: Como a terceira linha é toda zero, passamos para a quarta linha e usamos -12.5 como pivot. No entanto, isso indica que o sistema pode ser indeterminado ou ter infinitas soluções. Mas vamos verificar na próxima etapa.

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema triangular que obtivemos:
-2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 = 2 -6.5x2 - 3.5x3 - 12.5x4 = -6 0 = 0
Como a terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional, podemos atribuir um valor arbitrário a uma das variáveis. Vamos escolher -6.5x2 - 3.5x3 - 12.5t = -6 , onde -6.5x2 - 3.5s - 12.5t = -6 é um parâmetro livre.
Substituindo x2 = -6 + 3.5s + 12.5t-6.5 x2 = 6 - 3.5s - 12.5t6.5 x2 = 66.5 - 3.56.5s - 12.56.5t x2 = 0.923 - 0.538s - 1.923t na segunda equação:
-2x1 + 3(0.923 - 0.538s - 1.923t) + s + 5t = 2 -2x1 + 2.769 - 1.615s - 5.769t + s + 5t = 2 -2x1 + 2.769 - 0.615s - 0.769t = 2 -2x1 = 2 - 2.769 + 0.615s + 0.769t -2x1 = -0.769 + 0.615s + 0.769t x1 = 0.769 - 0.615s - 0.769t2 x1 = 0.385 - 0.308s - 0.385t
Podemos escolher , outro parâmetro livre. Assim, temos:
Resolvendo para :
Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 6

Agora, temos as soluções gerais do sistema sem pivotação parcial:
x1 = 0.385 - 0.308s - 0.385t x2 = 0.923 - 0.538s - 1.923t x3 = s x4 = t
Isso significa que há infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .

Passo 7

Agora, vamos resolver o mesmo sistema, mas desta vez aplicando a pivotação parcial. Isso ajuda a evitar erros numéricos e melhora a estabilidade do método.
Etapa 1: Começamos novamente com a matriz aumentada:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6
Pivotação Parcial: Olhamos para a primeira coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Nesse caso, o maior valor é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha pela segunda.
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 8

Etapa 2: Agora, usamos o pivot (5) para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
Para eliminar o -2 da segunda linha:
Linha2 = Linha2 + ( 25 ) times Linha1
Fazendo isso, a segunda linha fica:
0 3.4 0.6 5 | 1.2
Para eliminar o 1 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - ( 15 ) times Linha1
Fica:
0 5.8 3.2 -1 | 0.2
Para eliminar o 4 da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - ( 45 ) times Linha1
Fica:
0 4.2 3.8 8 | 7.2

Passo 9

Etapa 3: Agora, focamos na segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Observamos que 5.8 na terceira linha é o maior. Vamos trocar a segunda linha com a terceira.
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 3.4 & 0.6 & 5 & | & 1.2 0 & 4.2 & 3.8 & 8 & | & 7.2

Passo 10

Etapa 4: Usamos o pivot 5.8 para eliminar os elementos abaixo na segunda coluna.
Para eliminar o 3.4 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - ( 3.45.8 ) times Linha2
Fazendo isso, a terceira linha fica:
0 0 -1.379 5.172 | 0.034
Para eliminar o 4.2 da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - ( 4.25.8 ) times Linha2
Fica:
0 0 1.69 8.172 | 7.034

Passo 11

Etapa 5: Agora, focamos na terceira coluna. O pivot é -1.379 na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar o elemento 1.69 na quarta linha.
Linha4 = Linha4 - ( 1.69-1.379 ) times Linha3
Depois de realizar a operação, a quarta linha fica:
0 0 0 9 | 7.5

Passo 12

Agora, temos a matriz triangular superior com pivotação parcial:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 5.8 & 3.2 & -1 & | & 0.2 0 & 0 & -1.379 & 5.172 & | & 0.034 0 & 0 & 0 & 9 & | & 7.5
Vamos resolver agora pelas equações obtidas.

Passo 13

Resolvendo as equações:
Da quarta linha:
9x4 = 7.5 x4 = 7.59 x4 = 0.833
Da terceira linha:
-1.379x3 + 5.172x4 = 0.034 -1.379x3 + 5.172(0.833) = 0.034 -1.379x3 + 4.305 = 0.034 -1.379x3 = -4.271 x3 = -4.271-1.379 x3 = 3.099
Da segunda linha:
5.8x2 + 3.2x3 - x4 = 0.2 5.8x2 + 3.2(3.099) - 0.833 = 0.2 5.8x2 + 9.957 - 0.833 = 0.2 5.8x2 + 9.124 = 0.2 5.8x2 = -8.924 x2 = -8.9245.8 x2 = -1.539
Da primeira linha:
5x1 + x2 - x3 = -1 5x1 + (-1.539) - 3.099 = -1 5x1 - 4.638 = -1 5x1 = 3.638 x1 = 3.6385 x1 = 0.728

Passo 14

Resposta Final:
Após resolver o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, encontramos a solução única:
x1 = 0.728 x2 = -1.539 x3 = 3.099 x4 = 0.833

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