Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais. d) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar as operações necessárias para chegar na solução. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotação parcial e com pivotação parcial, para comparar os resultados no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o processo de eliminação. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. **Etapa 1:** Usamos o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivot) para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna. Para eliminar o 5 da segunda linha: - Multiplicamos a primeira linha por e somamos à segunda linha. Fazendo isso, a segunda linha fica: Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta linhas. **Etapa 2:** Eliminamos o 1 da terceira linha: Fica: **Etapa 3:** Eliminamos o 4 da quarta linha: Fica:

Passo 4

Continuando a eliminação sem pivotação parcial: **Etapa 4:** Agora, usamos o elemento na segunda linha e segunda coluna (-6.5) como pivot para eliminar os elementos abaixo dele. Para eliminar o -1 da terceira linha: Fazendo isso, a terceira linha fica: Para eliminar o 0 da quarta linha, não precisamos fazer nada, já que já está zero. **Etapa 5:** Como a terceira linha é toda zero, passamos para a quarta linha e usamos -12.5 como pivot. No entanto, isso indica que o sistema pode ser indeterminado ou ter infinitas soluções. Mas vamos verificar na próxima etapa.

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema triangular que obtivemos: Como a terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional, podemos atribuir um valor arbitrário a uma das variáveis. Vamos escolher , onde é um parâmetro livre. Substituindo na segunda equação: Podemos escolher , outro parâmetro livre. Assim, temos: Resolvendo para : Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 6

Agora, temos as soluções gerais do sistema sem pivotação parcial: Isso significa que há infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .

Passo 7

Agora, vamos resolver o mesmo sistema, mas desta vez aplicando a **pivotação parcial**. Isso ajuda a evitar erros numéricos e melhora a estabilidade do método. **Etapa 1:** Começamos novamente com a matriz aumentada: **Pivotação Parcial:** Olhamos para a primeira coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Nesse caso, o maior valor é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha pela segunda.

Passo 8

**Etapa 2:** Agora, usamos o pivot (5) para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna. Para eliminar o -2 da segunda linha: Fazendo isso, a segunda linha fica: Para eliminar o 1 da terceira linha: Fica: Para eliminar o 4 da quarta linha: Fica:

Passo 9

**Etapa 3:** Agora, focamos na segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Observamos que 5.8 na terceira linha é o maior. Vamos trocar a segunda linha com a terceira.

Passo 10

**Etapa 4:** Usamos o pivot 5.8 para eliminar os elementos abaixo na segunda coluna. Para eliminar o 3.4 da terceira linha: Fazendo isso, a terceira linha fica: Para eliminar o 4.2 da quarta linha: Fica:

Passo 11

**Etapa 5:** Agora, focamos na terceira coluna. O pivot é -1.379 na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar o elemento 1.69 na quarta linha. Depois de realizar a operação, a quarta linha fica:

Passo 12

Agora, temos a matriz triangular superior com pivotação parcial: Vamos resolver agora pelas equações obtidas.

Passo 13

**Resolvendo as equações:** Da quarta linha: Da terceira linha: Da segunda linha: Da primeira linha:

Passo 14

**Resposta Final:** Após resolver o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, encontramos a solução única:

Resposta

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