Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
d) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar as operações necessárias para chegar na solução. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotação parcial e com pivotação parcial, para comparar os resultados no final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o processo de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Etapa 1: Usamos o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivot) para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Para eliminar o 5 da segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por Linha2 = Linha2 + (-2.5) times Linha1 e somamos à segunda linha.
0 -6.5 -3.5 -12.5 | -6
Fazendo isso, a segunda linha fica:
Linha3 = Linha3 + 1 times Linha1
Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta linhas.
Etapa 2: Eliminamos o 1 da terceira linha:
-1 9 4 4 | 2
Fica:
Linha4 = Linha4 + 2 times Linha1
Etapa 3: Eliminamos o 4 da quarta linha:
0 11 4 18 | 10
Fica:
Passo 4
Continuando a eliminação sem pivotação parcial:
Etapa 4: Agora, usamos o elemento na segunda linha e segunda coluna (-6.5) como pivot para eliminar os elementos abaixo dele.
Para eliminar o -1 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - ( -1-6.5 ) times Linha2
Fazendo isso, a terceira linha fica:
0 0 0 0 | 0
Para eliminar o 0 da quarta linha, não precisamos fazer nada, já que já está zero.
Etapa 5: Como a terceira linha é toda zero, passamos para a quarta linha e usamos -12.5 como pivot. No entanto, isso indica que o sistema pode ser indeterminado ou ter infinitas soluções. Mas vamos verificar na próxima etapa.
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema triangular que obtivemos:
Como a terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional, podemos atribuir um valor arbitrário a uma das variáveis. Vamos escolher -6.5x2 - 3.5x3 - 12.5t = -6 , onde -6.5x2 - 3.5s - 12.5t = -6 é um parâmetro livre.
Podemos escolher , outro parâmetro livre. Assim, temos:
Resolvendo para :
Agora, substituímos e na primeira equação:
Passo 6
Agora, temos as soluções gerais do sistema sem pivotação parcial:
x1 = 0.385 - 0.308s - 0.385t x2 = 0.923 - 0.538s - 1.923t x3 = s x4 = t
Isso significa que há infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .
Passo 7
Agora, vamos resolver o mesmo sistema, mas desta vez aplicando a pivotação parcial. Isso ajuda a evitar erros numéricos e melhora a estabilidade do método.
Etapa 1: Começamos novamente com a matriz aumentada:
Pivotação Parcial: Olhamos para a primeira coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Nesse caso, o maior valor é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha pela segunda.
Etapa 2: Agora, usamos o pivot (5) para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
Para eliminar o -2 da segunda linha:
Linha2 = Linha2 + ( 25 ) times Linha1
Fazendo isso, a segunda linha fica:
0 3.4 0.6 5 | 1.2
Para eliminar o 1 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - ( 15 ) times Linha1
Fica:
0 5.8 3.2 -1 | 0.2
Para eliminar o 4 da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - ( 45 ) times Linha1
Fica:
0 4.2 3.8 8 | 7.2
Passo 9
Etapa 3: Agora, focamos na segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivot. Observamos que 5.8 na terceira linha é o maior. Vamos trocar a segunda linha com a terceira.