Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
b) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição LU com pivotação parcial. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente decompõe a matriz dos coeficientes em duas matrizes mais fáceis de trabalhar: uma L (inferior) e uma U (superior). A pivotação parcial ajuda a tornar os cálculos mais estáveis trocando as linhas para que o maior valor em cada coluna fique na diagonal principal. Vamos precisar identificar essas matrizes e depois resolver com substituição para achar os valores de x1, x2 e x3.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
Aqui, a matriz dos coeficientes é a que está do lado esquerdo, e o vetor dos termos independentes está do lado direito.
Passo 3
Vamos começar a decompor a matriz A em LU com pivotação parcial. A pivotação parcial significa que a gente vai trocar as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique na posição de pivô (diagonal principal). Olhando para a primeira coluna, os valores são 1, -5 e 2. O maior valor em termos de magnitude é 5 (da segunda linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Nova matriz:
-5 & -1 & 4 1 & 2 & 3 2 & 4 & 1 -2 17 24
Essa troca ajuda a evitar números pequenos que poderiam causar erros nos cálculos.
Passo 4
Agora, vamos decompor essa matriz em L e U. A ideia é transformar a matriz original em uma matriz triangular superior U usando operações de linha, e acompanhar essas operações em uma matriz triangular inferior L.
Primeiro, definimos U inicialmente como sendo a matriz trocada:
U = -5 & -1 & 4 1 & 2 & 3 2 & 4 & 1
E L começa como a matriz identidade:
L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Para isso, calculamos os multiplicadores:
Para a segunda linha:
m21 = 1-5 = -15
Para a terceira linha:
m31 = 2-5 = -25
Atualizamos L com esses multiplicadores:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 1 & 0 -25 & 0 & 1
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna:
Nova U após operação na segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + 15 times Linha 1
-5 & -1 & 4 0 & 95 & 195 2 & 4 & 1
Nova U após operação na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 25 times Linha 1
-5 & -1 & 4 0 & 95 & 195 0 & 185 & 95
Passo 5
Agora, vamos olhar para a segunda coluna. O maior elemento em magnitude abaixo do pivô atual (posição (2,2)) é 185 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda e a terceira linhas:
Nova U:
-5 & -1 & 4 0 & 185 & 95 0 & 95 & 195
Atualizamos L com a troca de linhas na segunda e terceira linhas:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 0 & 1 -25 & 1 & 0
Agora, calculamos o multiplicador para a terceira linha:
m32 = 95185 = 12
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 0 & 1 -25 & 12 & 0
Eliminamos o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Linha 3 = Linha 3 - 12 times Linha 2
-5 & -1 & 4 0 & 185 & 95 0 & 0 & 85
Agora, nossa matriz U está completamente triangular superior.
Passo 6
Com L e U definidas, agora resolvemos o sistema Ly = b para y usando substituição direta.