Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
b) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição com pivotação parcial. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente decompõe a matriz dos coeficientes em duas matrizes mais fáceis de trabalhar: uma L (inferior) e uma U (superior). A pivotação parcial ajuda a tornar os cálculos mais estáveis trocando as linhas para que o maior valor em cada coluna fique na diagonal principal. Vamos precisar identificar essas matrizes e depois resolver com substituição para achar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
$$
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é a que está do lado esquerdo, e o vetor dos termos independentes está do lado direito.
Passo 3
Vamos começar a decompor a matriz em com pivotação parcial. A pivotação parcial significa que a gente vai trocar as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique na posição de pivô (diagonal principal). Olhando para a primeira coluna, os valores são 1, -5 e 2. O maior valor em termos de magnitude é 5 (da segunda linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Nova matriz:
Essa troca ajuda a evitar números pequenos que poderiam causar erros nos cálculos.
Passo 4
Agora, vamos decompor essa matriz em e . A ideia é transformar a matriz original em uma matriz triangular superior usando operações de linha, e acompanhar essas operações em uma matriz triangular inferior .
Primeiro, definimos inicialmente como sendo a matriz trocada:
E começa como a matriz identidade:
Vamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Para isso, calculamos os multiplicadores:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Atualizamos com esses multiplicadores:
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna:
Nova após operação na segunda linha:
Nova após operação na terceira linha:
Passo 5
Agora, vamos olhar para a segunda coluna. O maior elemento em magnitude abaixo do pivô atual (posição (2,2)) é na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda e a terceira linhas:
Nova :
Atualizamos com a troca de linhas na segunda e terceira linhas:
Agora, calculamos o multiplicador para a terceira linha:
Atualizamos :
Eliminamos o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Agora, nossa matriz está completamente triangular superior.
Passo 6
Com e definidas, agora resolvemos o sistema para usando substituição direta.
Sistema :
$$
$$
Resolvendo:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema para usando substituição retroativa.