Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição L U, com a estratégia indicada.
b) Com pivotação parcial
(rrr 1 & 2 & 3 -5 & -1 & 4 2 & 4 & 1 )(l x1 x2 x3 )=(c 17 -2 24 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de decomposição LU com pivotação parcial. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente decompõe a matriz dos coeficientes em duas matrizes mais fáceis de trabalhar: uma L (inferior) e uma U (superior). A pivotação parcial ajuda a tornar os cálculos mais estáveis trocando as linhas para que o maior valor em cada coluna fique na diagonal principal. Vamos precisar identificar essas matrizes e depois resolver com substituição para achar os valores de x1, x2 e x3.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:

$$
1 & 2 & 3 -5 & -1 & 4 2 & 4 & 1 x1 x2 x3 = 17 -2 24

$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é a que está do lado esquerdo, e o vetor dos termos independentes está do lado direito.

Passo 3

Vamos começar a decompor a matriz A em LU com pivotação parcial. A pivotação parcial significa que a gente vai trocar as linhas para que o maior elemento em cada coluna fique na posição de pivô (diagonal principal). Olhando para a primeira coluna, os valores são 1, -5 e 2. O maior valor em termos de magnitude é 5 (da segunda linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Nova matriz:
-5 & -1 & 4 1 & 2 & 3 2 & 4 & 1 -2 17 24
Essa troca ajuda a evitar números pequenos que poderiam causar erros nos cálculos.

Passo 4

Agora, vamos decompor essa matriz em L e U. A ideia é transformar a matriz original em uma matriz triangular superior U usando operações de linha, e acompanhar essas operações em uma matriz triangular inferior L.
Primeiro, definimos U inicialmente como sendo a matriz trocada:
U = -5 & -1 & 4 1 & 2 & 3 2 & 4 & 1
E L começa como a matriz identidade:
L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Para isso, calculamos os multiplicadores:
Para a segunda linha:
m21 = 1-5 = -15
Para a terceira linha:
m31 = 2-5 = -25
Atualizamos L com esses multiplicadores:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 1 & 0 -25 & 0 & 1
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna:
Nova U após operação na segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + 15 times Linha 1
-5 & -1 & 4 0 & 95 & 195 2 & 4 & 1
Nova U após operação na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 25 times Linha 1
-5 & -1 & 4 0 & 95 & 195 0 & 185 & 95

Passo 5

Agora, vamos olhar para a segunda coluna. O maior elemento em magnitude abaixo do pivô atual (posição (2,2)) é 185 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda e a terceira linhas:
Nova U:
-5 & -1 & 4 0 & 185 & 95 0 & 95 & 195
Atualizamos L com a troca de linhas na segunda e terceira linhas:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 0 & 1 -25 & 1 & 0
Agora, calculamos o multiplicador para a terceira linha:
m32 = 95185 = 12
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -15 & 0 & 1 -25 & 12 & 0
Eliminamos o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Linha 3 = Linha 3 - 12 times Linha 2
-5 & -1 & 4 0 & 185 & 95 0 & 0 & 85
Agora, nossa matriz U está completamente triangular superior.

Passo 6

Com L e U definidas, agora resolvemos o sistema Ly = b para y usando substituição direta.
Sistema Ly = b:

$$
1 & 0 & 0 -15 & 0 & 1 -25 & 12 & 0 y1 y2 y3 = -2 17 24
y1 = -2

-15y1 + y3 = 17 -15(-2) + y3 = 17 25 + y3 = 17 y3 = 17 - 25 = 855 - 25 = 835
$$
Resolvendo:
  1. Primeira equação:
-25y1 + 12y2 = 24 -25(-2) + 12y2 = 24 45 + 12y2 = 24 12y2 = 24 - 45 = 1205 - 45 = 1165 y2 = 1165 times 2 = 2325
  1. Segunda equação:
y = -2 2325 835
  1. Terceira equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema Ux = y para x usando substituição retroativa.
Sistema Ux = y:

$$
-5 & -1 & 4 0 & 185 & 95 0 & 0 & 85 x1 x2 x3 = -2 2325 835
85x3 = 835 x3 = 835 div 85 = 838

185x2 + 95x3 = 2325 185x2 + 95 times 838 = 2325 185x2 = 2325 - 74740 = 1856 - 74740 = 110940 x2 = 110940 div 185 = 110940 times 518 = 1109 times 540 times 18 = 5545720 = 1109144
$$
Resolvendo de baixo para cima:
  1. Terceira equação:
-5x1 - x2 + 4x3 = -2 -5x1 - 1109144 + 4 times 838 = -2 -5x1 - 1109144 + 3328 = -2 -5x1 - 1109144 + 5976144 = -2 -5x1 + 4867144 = -2 -5x1 = -2 - 4867144 = -288144 - 4867144 = -5155144 x1 = 5155144 div 5 = 5155720 = 5155 div 15720 div 15 = 34348
  1. Segunda equação:
  1. Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 34348, x2 = 1109144, x3 = 838

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