Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição L U, com a estratégia indicada.
a) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados, utilizando apenas 4 casas decimais.
(rrr 2 & 6 & -3 1 & 3,001 & 2 4 & -1 & 9 )(l x1 x2 x3 )=(r 5 9 29 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método de decomposição . Esse método quebra a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior). Vamos fazer isso de duas formas: sem pivotação parcial e com pivotação parcial. Depois, vamos comparar os resultados, arredondando para 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial:

[
2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 x1 x2 x3 = 5 9 29


]

Passo 3

Vamos decompor a matriz L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 em e sem usar pivotação parcial. Começamos com sendo uma matriz identidade e igual a :

Passo 4

Aplicamos a eliminação de Gauss para transformar m21 = 12 = 0.5 em uma matriz triangular superior, atualizando 1 & 3.001 & 2 - 0.5 times 2 & 6 & -3 = 0 & 0.001 & 3.5 com os multiplicadores usados:
  1. Para eliminar L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :

m31 = 42 = 2
Atualizamos a segunda linha:
[
4 & -1 & 9 - 2 times 2 & 6 & -3 = 0 & -13 & 15

0.5 \times
L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & 0 & 1

m32 = -130.001 = -13000
]
Atualizamos 0 & -13 & 15 - (-13000) times 0 & 0.001 & 3.5 = 0 & 0 & 45.5 :
L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & -13000 & 1
  1. Para eliminar U = 2 & 6 & -3 0 & 0.001 & 3.5 0 & 0 & 45.5 :


Atualizamos a terceira linha:
[

2 \times


]
Atualizamos :
  1. Agora, eliminamos :


Atualizamos a terceira linha:
[

(-13000) \times


]
Atualizamos :
Agora, a matriz ficou assim:

Passo 5

Vamos resolver y1 = 5 0.5 y1 + y2 = 9 2 y1 -13000 y2 + y3 = 29 para encontrar 5 6.5 84519 :
Então,

Passo 6

Agora, resolvemos 2 x1 + 6 x2 -3 x3 = 5 0.001 x2 + 3.5 x3 = 6.5 45.5 x3 = 84519 :
x3 = 8451945.5 approx 1856.7462
  1. Da terceira equação:
0.001 x2 + 3.5 times 1856.7462 = 6.5 Rightarrow 0.001 x2 + 6498.1117 = 6.5 Rightarrow 0.001 x2 = -6491.6117 Rightarrow x2 = -6491611.7
  1. Da segunda equação:
2 x1 + 6 times (-6491611.7) -3 times 1856.7462 = 5 Rightarrow 2 x1 -38949670.2 -5570.2386 = 5 Rightarrow 2 x1 = 38955245.4386 Rightarrow x1 = 19477622.7193
  1. Da primeira equação:

Resposta

A solução do sistema sem pivotação parcial é aproximadamente:
x1 approx 19477622.7193 x2 approx -6491611.7000 x3 approx 1856.7462

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