Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
c) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss, tanto sem quanto com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss e o que é pivotação parcial. A eliminação de Gauss é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução por substituição. A pivotação parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica do método escolhendo o maior elemento em módulo da coluna como pivô, evitando dividir por números muito pequenos que podem causar erros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial.
Primeira coluna:
O primeiro elemento (pivô) já é 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dele.
  • Linha 2: Adicionamos 8 vezes a Linha 1 à Linha 2:
  • Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
  • Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 4

Segunda coluna:
O pivô agora é o elemento na posição (2,2), que é -20.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
  • Linha 3: Adicionamos (11/20) vezes a Linha 2 à Linha 3:
  • Linha 4: Adicionamos (5/20) vezes a Linha 2 à Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 5

Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
  • Linha 4: Subtraímos (9.75 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4:
A matriz triangulada fica:

Passo 6

Agora, podemos resolver o sistema de cima para baixo (back substitution).
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:

Passo 7

Agora, temos a solução sem pivotação parcial:

Passo 8

Vamos agora resolver o mesmo sistema, mas dessa vez usando a pivotação parcial para ver se os resultados mudam.
Reiniciando com a matriz aumentada:
Primeira coluna:
Procura-se o maior elemento em módulo na primeira coluna para ser o pivô. Aqui, o maior é -8 na Linha 2.
Vamos trocar a Linha 1 com a Linha 2:
Eliminação:
Agora, o pivô é -8.
  • Linha 2: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 2:
  • Linha 3: Adicionamos (3/8) vezes a Linha 1 à Linha 3:
  • Linha 4: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 9

Segunda coluna:
O pivô é o elemento na posição (2,2), que é -2.5.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
  • Linha 3: Adicionamos (-3.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 3:
  • Linha 4: Adicionamos (-2.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 10

Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
  • Linha 4: Subtraímos (0 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4 (na verdade, já está zero, então nada muda):
A matriz permanece:

Passo 11

Agora, vamos resolver o sistema triangular.
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:

Passo 12

Agora, temos a solução com pivotação parcial:

Resposta

Sem pivotação parcial, a solução aproximada é:
Com pivotaç��o parcial, a solução exata é:
Percebe-se que usar pivotação parcial melhora a precisão dos resultados, garantindo uma solução mais exata e confiável.

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