Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
c) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss, tanto sem quanto com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss e o que é pivotação parcial. A eliminação de Gauss é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução por substituição. A pivotação parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica do método escolhendo o maior elemento em módulo da coluna como pivô, evitando dividir por números muito pequenos que podem causar erros.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial.
Primeira coluna:
O primeiro elemento (pivô) já é 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Linha 2: Adicionamos 8 vezes a Linha 1 à Linha 2:
Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4:
A matriz fica assim:
Passo 4
Segunda coluna:
O pivô agora é o elemento na posição (2,2), que é -20.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
Linha 3: Adicionamos (11/20) vezes a Linha 2 à Linha 3:
Linha 4: Adicionamos (5/20) vezes a Linha 2 à Linha 4:
A matriz agora fica:
Passo 5
Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
Linha 4: Subtraímos (9.75 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4:
A matriz triangulada fica:
Passo 6
Agora, podemos resolver o sistema de cima para baixo (back substitution).
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:
Passo 7
Agora, temos a solução sem pivotação parcial:
Passo 8
Vamos agora resolver o mesmo sistema, mas dessa vez usando a pivotação parcial para ver se os resultados mudam.
Reiniciando com a matriz aumentada:
Primeira coluna:
Procura-se o maior elemento em módulo na primeira coluna para ser o pivô. Aqui, o maior é -8 na Linha 2.
Vamos trocar a Linha 1 com a Linha 2:
Eliminação:
Agora, o pivô é -8.
Linha 2: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 2:
Linha 3: Adicionamos (3/8) vezes a Linha 1 à Linha 3:
Linha 4: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 4:
A matriz agora fica:
Passo 9
Segunda coluna:
O pivô é o elemento na posição (2,2), que é -2.5.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
Linha 3: Adicionamos (-3.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 3:
Linha 4: Adicionamos (-2.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 4:
A matriz fica assim:
Passo 10
Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
Linha 4: Subtraímos (0 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4 (na verdade, já está zero, então nada muda):
A matriz permanece:
Passo 11
Agora, vamos resolver o sistema triangular.
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:
Passo 12
Agora, temos a solução com pivotação parcial:
Resposta
Sem pivotação parcial, a solução aproximada é:
Com pivotaç��o parcial, a solução exata é:
Percebe-se que usar pivotação parcial melhora a precisão dos resultados, garantindo uma solução mais exata e confiável.