Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
c) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .
(rrrr 1 & -3 & 5 & 6 -8 & 4 & -1 & 0 3 & 2 & -2 & 7 1 & 2 & 5 & -4 )(l x1 x2 x3 x4 )=(r 17 29 -11 7 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss, tanto sem quanto com pivotação parcial. O sistema que temos é:
1x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 17 -8x1 + 4x2 - 1x3 + 0x4 = 29 3x1 + 2x2 - 2x3 + 7x4 = -11 1x1 + 2x2 + 5x3 - 4x4 = 7
Vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss e o que é pivotação parcial. A eliminação de Gauss é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução por substituição. A pivotação parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica do método escolhendo o maior elemento em módulo da coluna como pivô, evitando dividir por números muito pequenos que podem causar erros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & 6 & 17 -8 & 4 & -1 & 0 & 29 3 & 2 & -2 & 7 & -11 1 & 2 & 5 & -4 & 7 ]

Passo 3

Vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial.
Primeira coluna:
O primeiro elemento (pivô) já é 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dele.
  • Linha 2: Adicionamos 8 vezes a Linha 1 à Linha 2:
    -8 + 8 times 1 = 0
    4 + 8 times (-3) = 4 - 24 = -20
    -1 + 8 times 5 = -1 + 40 = 39
    0 + 8 times 6 = 0 + 48 = 48
    29 + 8 times 17 = 29 + 136 = 165
  • Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
    3 - 3 times 1 = 0
    2 - 3 times (-3) = 2 + 9 = 11
    -2 - 3 times 5 = -2 - 15 = -17
    7 - 3 times 6 = 7 - 18 = -11
    -11 - 3 times 17 = -11 - 51 = -62
  • Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4:
    1 - 1 times 1 = 0
    2 - 1 times (-3) = 2 + 3 = 5
    5 - 1 times 5 = 5 - 5 = 0
    -4 - 1 times 6 = -4 - 6 = -10
    7 - 1 times 17 = 7 - 17 = -10
A matriz fica assim:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & 6 & 17 0 & -20 & 39 & 48 & 165 0 & 11 & -17 & -11 & -62 0 & 5 & 0 & -10 & -10 ]

Passo 4

Segunda coluna:
O pivô agora é o elemento na posição (2,2), que é -20.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
  • Linha 3: Adicionamos (11/20) vezes a Linha 2 à Linha 3:
    11 + 1120 times (-20) = 11 - 11 = 0
    -17 + 1120 times 39 = -17 + 42920 = -17 + 21.45 = 4.45
    -11 + 1120 times 48 = -11 + 52820 = -11 + 26.4 = 15.4
    -62 + 1120 times 165 = -62 + 181520 = -62 + 90.75 = 28.75
  • Linha 4: Adicionamos (5/20) vezes a Linha 2 à Linha 4:
    5 + 520 times (-20) = 5 - 5 = 0
    0 + 520 times 39 = 0 + 19520 = 9.75
    -10 + 520 times 48 = -10 + 12 = 2
    -10 + 520 times 165 = -10 + 41.25 = 31.25
A matriz agora fica:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & 6 & 17 0 & -20 & 39 & 48 & 165 0 & 0 & 4.45 & 15.4 & 28.75 0 & 0 & 9.75 & 2 & 31.25 ]

Passo 5

Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
  • Linha 4: Subtraímos (9.75 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4:
    9.75 - 9.754.45 times 4.45 = 9.75 - 9.75 = 0
    2 - 9.754.45 times 15.4 = 2 - 33.735 = -31.735
    31.25 - 9.754.45 times 28.75 = 31.25 - 62.722 = -31.472
A matriz triangulada fica:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & 6 & 17 0 & -20 & 39 & 48 & 165 0 & 0 & 4.45 & 15.4 & 28.75 0 & 0 & 0 & -31.735 & -31.472 ]

Passo 6

Agora, podemos resolver o sistema de cima para baixo (back substitution).
Linha 4:
-31.735x4 = -31.472 x4 = -31.472-31.735 approx 0.992
Linha 3:
4.45x3 + 15.4x4 = 28.75 4.45x3 + 15.4 times 0.992 = 28.75 4.45x3 + 15.3 approx 28.75 4.45x3 approx 28.75 - 15.3 4.45x3 approx 13.45 x3 approx 13.454.45 approx 3.022
Linha 2:
-20x2 + 39x3 + 48x4 = 165 -20x2 + 39 times 3.022 + 48 times 0.992 = 165 -20x2 + 117.858 + 47.616 approx 165 -20x2 + 165.474 approx 165 -20x2 approx -0.474 x2 approx -0.474-20 approx 0.024
Linha 1:
x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 17 x1 - 3 times 0.024 + 5 times 3.022 + 6 times 0.992 = 17 x1 - 0.072 + 15.11 + 5.952 approx 17 x1 + 20 approx 17 x1 approx 17 - 20 x1 approx -3

Passo 7

Agora, temos a solução sem pivotação parcial:
x1 approx -3 x2 approx 0.024 x3 approx 3.022 x4 approx 0.992

Passo 8

Vamos agora resolver o mesmo sistema, mas dessa vez usando a pivotação parcial para ver se os resultados mudam.
Reiniciando com a matriz aumentada:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & 6 & 17 -8 & 4 & -1 & 0 & 29 3 & 2 & -2 & 7 & -11 1 & 2 & 5 & -4 & 7 ]
Primeira coluna:
Procura-se o maior elemento em módulo na primeira coluna para ser o pivô. Aqui, o maior é -8 na Linha 2.
Vamos trocar a Linha 1 com a Linha 2:
[cccc|c -8 & 4 & -1 & 0 & 29 1 & -3 & 5 & 6 & 17 3 & 2 & -2 & 7 & -11 1 & 2 & 5 & -4 & 7 ]
Eliminação:
Agora, o pivô é -8.
  • Linha 2: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 2:
    1 + 18 times (-8) = 1 - 1 = 0
    -3 + 18 times 4 = -3 + 0.5 = -2.5
    5 + 18 times (-1) = 5 - 0.125 = 4.875
    6 + 18 times 0 = 6 + 0 = 6
    17 + 18 times 29 = 17 + 3.625 = 20.625
  • Linha 3: Adicionamos (3/8) vezes a Linha 1 à Linha 3:
    3 + 38 times (-8) = 3 - 3 = 0
    2 + 38 times 4 = 2 + 1.5 = 3.5
    -2 + 38 times (-1) = -2 - 0.375 = -2.375
    7 + 38 times 0 = 7 + 0 = 7
    -11 + 38 times 29 = -11 + 10.875 = -0.125
  • Linha 4: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 4:
    1 + 18 times (-8) = 1 - 1 = 0
    2 + 18 times 4 = 2 + 0.5 = 2.5
    5 + 18 times (-1) = 5 - 0.125 = 4.875
    -4 + 18 times 0 = -4 + 0 = -4
    7 + 18 times 29 = 7 + 3.625 = 10.625
A matriz agora fica:
[cccc|c -8 & 4 & -1 & 0 & 29 0 & -2.5 & 4.875 & 6 & 20.625 0 & 3.5 & -2.375 & 7 & -0.125 0 & 2.5 & 4.875 & -4 & 10.625 ]

Passo 9

Segunda coluna:
O pivô é o elemento na posição (2,2), que é -2.5.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
  • Linha 3: Adicionamos (-3.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 3:
    3.5 + (-3.5-2.5) times (-2.5) = 3.5 + 3.5 = 7
    -2.375 + (-3.5-2.5) times 4.875 = -2.375 + 6.825 = 4.45
    7 + (-3.5-2.5) times 6 = 7 + 8.4 = 15.4
    -0.125 + (-3.5-2.5) times 20.625 = -0.125 + 28.875 = 28.75
  • Linha 4: Adicionamos (-2.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 4:
    2.5 + (-2.5-2.5) times (-2.5) = 2.5 - 2.5 = 0
    4.875 + (-2.5-2.5) times 4.875 = 4.875 - 4.875 = 0
    -4 + (-2.5-2.5) times 6 = -4 - 6 = -10
    10.625 + (-2.5-2.5) times 20.625 = 10.625 - 20.625 = -10
A matriz fica assim:
[cccc|c -8 & 4 & -1 & 0 & 29 0 & -2.5 & 4.875 & 6 & 20.625 0 & 0 & 4.45 & 15.4 & 28.75 0 & 0 & 0 & -10 & -10 ]

Passo 10

Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
  • Linha 4: Subtraímos (0 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4 (na verdade, já está zero, então nada muda):
A matriz permanece:
[cccc|c -8 & 4 & -1 & 0 & 29 0 & -2.5 & 4.875 & 6 & 20.625 0 & 0 & 4.45 & 15.4 & 28.75 0 & 0 & 0 & -10 & -10 ]

Passo 11

Agora, vamos resolver o sistema triangular.
Linha 4:
-10x4 = -10 x4 = -10-10 = 1
Linha 3:
4.45x3 + 15.4x4 = 28.75 4.45x3 + 15.4 times 1 = 28.75 4.45x3 + 15.4 = 28.75 4.45x3 = 28.75 - 15.4 4.45x3 = 13.35 x3 = 13.354.45 approx 3
Linha 2:
-2.5x2 + 4.875x3 + 6x4 = 20.625 -2.5x2 + 4.875 times 3 + 6 times 1 = 20.625 -2.5x2 + 14.625 + 6 = 20.625 -2.5x2 + 20.625 = 20.625 -2.5x2 = 0 x2 = 0
Linha 1:
-8x1 + 4x2 - 1x3 + 0x4 = 29 -8x1 + 4 times 0 - 1 times 3 + 0 times 1 = 29 -8x1 - 3 = 29 -8x1 = 29 + 3 -8x1 = 32 x1 = 32-8 = -4

Passo 12

Agora, temos a solução com pivotação parcial:
x1 = -4 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 1

Resposta

Sem pivotação parcial, a solução aproximada é:
x1 approx -3 x2 approx 0.024 x3 approx 3.022 x4 approx 0.992
Com pivotaç��o parcial, a solução exata é:
x1 = -4 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 1
Percebe-se que usar pivotação parcial melhora a precisão dos resultados, garantindo uma solução mais exata e confiável.

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