Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
c) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .
c) Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss, tanto sem quanto com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss e o que é pivotação parcial. A eliminação de Gauss é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução por substituição. A pivotação parcial ajuda a melhorar a estabilidade numérica do método escolhendo o maior elemento em módulo da coluna como pivô, evitando dividir por números muito pequenos que podem causar erros.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Vamos começar a eliminação sem usar pivotação parcial.
Primeira coluna:
O primeiro elemento (pivô) já é 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dele.
-
Linha 2: Adicionamos 8 vezes a Linha 1 à Linha 2:
-8 + 8 times 1 = 0 4 + 8 times (-3) = 4 - 24 = -20 -1 + 8 times 5 = -1 + 40 = 39 0 + 8 times 6 = 0 + 48 = 48 29 + 8 times 17 = 29 + 136 = 165 -
Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times (-3) = 2 + 9 = 11 -2 - 3 times 5 = -2 - 15 = -17 7 - 3 times 6 = 7 - 18 = -11 -11 - 3 times 17 = -11 - 51 = -62 -
Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4:
1 - 1 times 1 = 0 2 - 1 times (-3) = 2 + 3 = 5 5 - 1 times 5 = 5 - 5 = 0 -4 - 1 times 6 = -4 - 6 = -10 7 - 1 times 17 = 7 - 17 = -10
A matriz fica assim:
Passo 4
Segunda coluna:
O pivô agora é o elemento na posição (2,2), que é -20.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
-
Linha 3: Adicionamos (11/20) vezes a Linha 2 à Linha 3:
11 + 1120 times (-20) = 11 - 11 = 0 -17 + 1120 times 39 = -17 + 42920 = -17 + 21.45 = 4.45 -11 + 1120 times 48 = -11 + 52820 = -11 + 26.4 = 15.4 -62 + 1120 times 165 = -62 + 181520 = -62 + 90.75 = 28.75 -
Linha 4: Adicionamos (5/20) vezes a Linha 2 à Linha 4:
5 + 520 times (-20) = 5 - 5 = 0 0 + 520 times 39 = 0 + 19520 = 9.75 -10 + 520 times 48 = -10 + 12 = 2 -10 + 520 times 165 = -10 + 41.25 = 31.25
A matriz agora fica:
Passo 5
Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
-
Linha 4: Subtraímos (9.75 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4:
9.75 - 9.754.45 times 4.45 = 9.75 - 9.75 = 0 2 - 9.754.45 times 15.4 = 2 - 33.735 = -31.735 31.25 - 9.754.45 times 28.75 = 31.25 - 62.722 = -31.472
A matriz triangulada fica:
Passo 6
Agora, podemos resolver o sistema de cima para baixo (back substitution).
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:
Passo 7
Agora, temos a solução sem pivotação parcial:
Passo 8
Vamos agora resolver o mesmo sistema, mas dessa vez usando a pivotação parcial para ver se os resultados mudam.
Reiniciando com a matriz aumentada:
Primeira coluna:
Procura-se o maior elemento em módulo na primeira coluna para ser o pivô. Aqui, o maior é -8 na Linha 2.
Vamos trocar a Linha 1 com a Linha 2:
Eliminação:
Agora, o pivô é -8.
-
Linha 2: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 2:
1 + 18 times (-8) = 1 - 1 = 0 -3 + 18 times 4 = -3 + 0.5 = -2.5 5 + 18 times (-1) = 5 - 0.125 = 4.875 6 + 18 times 0 = 6 + 0 = 6 17 + 18 times 29 = 17 + 3.625 = 20.625 -
Linha 3: Adicionamos (3/8) vezes a Linha 1 à Linha 3:
3 + 38 times (-8) = 3 - 3 = 0 2 + 38 times 4 = 2 + 1.5 = 3.5 -2 + 38 times (-1) = -2 - 0.375 = -2.375 7 + 38 times 0 = 7 + 0 = 7 -11 + 38 times 29 = -11 + 10.875 = -0.125 -
Linha 4: Adicionamos (1/8) vezes a Linha 1 à Linha 4:
1 + 18 times (-8) = 1 - 1 = 0 2 + 18 times 4 = 2 + 0.5 = 2.5 5 + 18 times (-1) = 5 - 0.125 = 4.875 -4 + 18 times 0 = -4 + 0 = -4 7 + 18 times 29 = 7 + 3.625 = 10.625
A matriz agora fica:
Passo 9
Segunda coluna:
O pivô é o elemento na posição (2,2), que é -2.5.
Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô.
-
Linha 3: Adicionamos (-3.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 3:
3.5 + (-3.5-2.5) times (-2.5) = 3.5 + 3.5 = 7 -2.375 + (-3.5-2.5) times 4.875 = -2.375 + 6.825 = 4.45 7 + (-3.5-2.5) times 6 = 7 + 8.4 = 15.4 -0.125 + (-3.5-2.5) times 20.625 = -0.125 + 28.875 = 28.75 -
Linha 4: Adicionamos (-2.5 / -2.5) vezes a Linha 2 à Linha 4:
2.5 + (-2.5-2.5) times (-2.5) = 2.5 - 2.5 = 0 4.875 + (-2.5-2.5) times 4.875 = 4.875 - 4.875 = 0 -4 + (-2.5-2.5) times 6 = -4 - 6 = -10 10.625 + (-2.5-2.5) times 20.625 = 10.625 - 20.625 = -10
A matriz fica assim:
Passo 10
Terceira coluna:
O pivô é 4.45 na posição (3,3).
Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
- Linha 4: Subtraímos (0 / 4.45) vezes a Linha 3 da Linha 4 (na verdade, já está zero, então nada muda):
A matriz permanece:
Passo 11
Agora, vamos resolver o sistema triangular.
Linha 4:
Linha 3:
Linha 2:
Linha 1:
Passo 12
Agora, temos a solução com pivotação parcial:
Resposta
Sem pivotação parcial, a solução aproximada é:
Com pivotaç��o parcial, a solução exata é:
Percebe-se que usar pivotação parcial melhora a precisão dos resultados, garantindo uma solução mais exata e confiável.