Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição L U, com a estratégia indicada.
d) Com pivotação parcial
(rrr1 & -4 & -1 -2 & 9 & 3 0 & 1 & 1)(lx1 x2 x3)=(l1 2 4)

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU com pivotação parcial. Isso envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior, e U, que é uma matriz triangular superior. A pivotação parcial ajuda a melhorar a precisão da solução trocando as linhas da matriz para evitar divisões por números muito pequenos.

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes:
A = 1 & -4 & -1 -2 & 9 & 3 0 & 1 & 1 , b = 1 2 4

Passo 3

Aplicamos a pivotação parcial para encontrar a melhor linha para trocar, de modo a ter o maior valor possível na posição diagonal. Olhando para a primeira coluna, os valores absolutos são 1, 2 e 0. O maior é 2 na segunda linha, então trocamos a primeira e a segunda linhas:
A' = -2 & 9 & 3 1 & -4 & -1 0 & 1 & 1 , b' = 2 1 4

Passo 4

Agora, decomponha a matriz A' em L e U. Começamos com U igual a A' e L como a matriz identidade:
U = -2 & 9 & 3 1 & -4 & -1 0 & 1 & 1 , L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal em U e ajustamos L de acordo.
Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha de U por -0.5 e somamos à segunda linha:
L21 = 1-2 = -0.5
U2 = U2 + (-0.5) times U1 = 1 & -4 & -1 + (-0.5) times -2 & 9 & 3 = 0 & -4 + 4.5 & -1 + (-1.5) = 0 & 0.5 & -2.5
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 6

Para a terceira linha, já não há necessidade de eliminação na primeira coluna, pois o elemento já é zero. Passamos para a segunda coluna. Calculamos o fator L32:
L32 = U32U22 = 10.5 = 2
Então, eliminamos:
U3 = U3 - 2 times U2 = 0 & 1 & 1 - 2 times 0 & 0.5 & -2.5 = 0 & 0 & 6
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 2 & 1

Passo 7

Agora temos U:
U = -2 & 9 & 3 0 & 0.5 & -2.5 0 & 0 & 6
E L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 2 & 1

Passo 8

Resolvemos primeiro o sistema Ly = Pb', onde P é a matriz de permutação devido à pivotação. Como trocamos a primeira e a segunda linhas, temos:
Pb' = 2 1 4
Resolvendo Ly = Pb':
  1. y1 = 2
  2. -0.5y1 + y2 = 1 Rightarrow -0.5 times 2 + y2 = 1 Rightarrow y2 = 2
  3. 2y2 + y3 = 4 Rightarrow 2 times 2 + y3 = 4 Rightarrow y3 = 0
Então, y = 2 2 0

Passo 9

Agora, resolvemos Ux = y:
  1. 6x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
  2. 0.5x2 - 2.5x3 = 2 Rightarrow 0.5x2 = 2 Rightarrow x2 = 4
  3. -2x1 + 9x2 + 3x3 = 2 Rightarrow -2x1 + 9 times 4 = 2 Rightarrow -2x1 + 36 = 2 Rightarrow -2x1 = -34 Rightarrow x1 = 17

Resposta

A solução do sistema é:

$$
x1 x2 x3 = 17 4 0

$$

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