Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
d) Com pivotação parcial
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU com pivotação parcial. Isso envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior, e U, que é uma matriz triangular superior. A pivotação parcial ajuda a melhorar a precisão da solução trocando as linhas da matriz para evitar divisões por números muito pequenos.
Passo 2
Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes:
A = 1 & -4 & -1 -2 & 9 & 3 0 & 1 & 1 , b = 1 2 4
Passo 3
Aplicamos a pivotação parcial para encontrar a melhor linha para trocar, de modo a ter o maior valor possível na posição diagonal. Olhando para a primeira coluna, os valores absolutos são 1, 2 e 0. O maior é 2 na segunda linha, então trocamos a primeira e a segunda linhas:
Eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal em U e ajustamos L de acordo.
Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha de U por -0.5 e somamos à segunda linha:
L21 = 1-2 = -0.5
U2 = U2 + (-0.5) times U1 = 1 & -4 & -1 + (-0.5) times -2 & 9 & 3 = 0 & -4 + 4.5 & -1 + (-1.5) = 0 & 0.5 & -2.5
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 6
Para a terceira linha, já não há necessidade de eliminação na primeira coluna, pois o elemento já é zero. Passamos para a segunda coluna. Calculamos o fator L32:
L32 = U32U22 = 10.5 = 2
Então, eliminamos:
U3 = U3 - 2 times U2 = 0 & 1 & 1 - 2 times 0 & 0.5 & -2.5 = 0 & 0 & 6
Atualizamos L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 2 & 1
Passo 7
Agora temos U:
U = -2 & 9 & 3 0 & 0.5 & -2.5 0 & 0 & 6
E L:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 2 & 1
Passo 8
Resolvemos primeiro o sistema Ly = Pb', onde P é a matriz de permutação devido à pivotação. Como trocamos a primeira e a segunda linhas, temos: