Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição , com a estratégia indicada.
d) Com pivotação parcial

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da decomposição com pivotação parcial. Isso envolve decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: , que é uma matriz triangular inferior, e , que é uma matriz triangular superior. A pivotação parcial ajuda a melhorar a precisão da solução trocando as linhas da matriz para evitar divisões por números muito pequenos.

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes:

Passo 3

Aplicamos a pivotação parcial para encontrar a melhor linha para trocar, de modo a ter o maior valor possível na posição diagonal. Olhando para a primeira coluna, os valores absolutos são 1, 2 e 0. O maior é 2 na segunda linha, então trocamos a primeira e a segunda linhas:

Passo 4

Agora, decomponha a matriz em e . Começamos com igual a e como a matriz identidade:

Passo 5

Eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal em e ajustamos de acordo.
Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha de por e somamos à segunda linha:
Atualizamos :

Passo 6

Para a terceira linha, já não há necessidade de eliminação na primeira coluna, pois o elemento já é zero. Passamos para a segunda coluna. Calculamos o fator :
Então, eliminamos:
Atualizamos :

Passo 7

Agora temos :
E :

Passo 8

Resolvemos primeiro o sistema , onde é a matriz de permutação devido à pivotação. Como trocamos a primeira e a segunda linhas, temos:
Resolvendo :
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos :

Resposta

A solução do sistema é:

$$

$$

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