Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz. -5,245245245 cdots

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer é determinar se o número -5,245245245 cdots é racional ou irracional. Se for racional, também vamos descobrir qual é a fração que o representa. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre números racionais e decimais periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Além disso, os decimais que terminam ou se repetem de forma periódica também representam números racionais.

Passo 3

Olhando para o número que temos: -5,245245245 cdots, percebemos que ele possui uma parte decimal que começa a se repetir a partir do “245”. Isso significa que ele é um decimal periódico, o que já nos indica que ele é um número racional.

Passo 4

Vamos representar esse número como x para facilitar os cálculos:
x = -5,245245245 cdots
Como o período “245” tem 3 dígitos, vamos multiplicar x por 1000 para deslocar a vírgula:
1000x = -5245,245245245 cdots

Passo 5

Agora, vamos subtrair a equação original da equação multiplicada:
1000x - x = -5245,245245245 cdots - (-5,245245245 cdots)
999x = -5240

Passo 6

Para encontrar o valor de x, basta dividir os dois lados da equação por 999:
x = -5240999

Resposta

O número -5,245245245 cdots é racional e sua fração geratriz é -dfrac5240999.

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