Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer é determinar se o número é racional ou irracional. Se for racional, também vamos descobrir qual é a fração que o representa. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre números racionais e decimais periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração , onde e são inteiros e . Além disso, os decimais que terminam ou se repetem de forma periódica também representam números racionais.

Passo 3

Olhando para o número que temos: , percebemos que ele possui uma parte decimal que começa a se repetir a partir do “245”. Isso significa que ele é um decimal periódico, o que já nos indica que ele é um número racional.

Passo 4

Vamos representar esse número como para facilitar os cálculos:
Como o período “245” tem 3 dígitos, vamos multiplicar por 1000 para deslocar a vírgula:

Passo 5

Agora, vamos subtrair a equação original da equação multiplicada:

Passo 6

Para encontrar o valor de , basta dividir os dois lados da equação por 999:

Resposta

O número é racional e sua fração geratriz é .

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Observação: no item (d) identifique os próximos algarismos não escritos e, mais geralmente, identifique o processo de obtenção de todos os algarismos. Em seguida responda se é um número racional ou irracional.
É possível provar que se não e um quadrado perfeito, então é um número irracional. Use este resultado para exibir pelo menos 10 números irracionais.