Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de A são: 3,2+i, 2-i. Então o traço de A é 7 e o determinante de A é 15 .

Passo 1

O exercício nos dá os autovalores de uma matriz A: 3,, 2+i,, 2-i. Vamos precisar entender como calcular o traço e o determinante de uma matriz usando seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o traço de A. O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Então, somamos todos os autovalores fornecidos:
Traço = 3 + (2+i) + (2-i) ç

Passo 3

Agora, somando os valores:
3 + 2 + i + 2 - i = 7
Os termos imaginários +i e -i se cancelam, restando 7. Portanto, o traço de A é 7.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o determinante de A. O determinante é o produto dos seus autovalores:
Determinante = 3 times (2+i) times (2-i)

Passo 5

Calculando o produto dos números complexos primeiro:
(2+i)(2-i) = 2 times 2 - 2i + 2i - i^2 = 4 - (i^2)
Sabemos que i^2 = -1, então:
4 - (-1) = 5
Agora, multiplicamos pelo terceiro autovalor:
3 times 5 = 15
Portanto, o determinante de A é 15.

Resposta

Verdadeiro. O traço de A é 7 e o determinante de A é 15.

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