Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares
se
for simétrica e positiva definida.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos dizer se a afirmação “A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para resolver sistemas lineares
se
for simétrica e positiva definida” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos falar sobre decomposição de matrizes, especialmente a decomposição de Cholesky, e entender quais são as condições para utilizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a decomposição de Cholesky. Ela é uma técnica usada em álgebra linear que decompõe uma matriz simétrica e positiva definida
em um produto de uma matriz triangular inferior
e sua transposta. Isso é representado por:
onde
é uma matriz triangular inferior e
é sua transposta.
Passo 3
Agora, vamos ver quais são as condições necessárias para aplicar a decomposição de Cholesky. A matriz
precisa ser simétrica, o que significa que
, e também precisa ser positiva definida. Isso quer dizer que todos os autovalores de
são positivos.
Passo 4
Se a matriz
não for simétrica ou não for positiva definida, a decomposição de Cholesky não pode ser realizada. Sem essa decomposição, esse método específico não pode ser usado para resolver o sistema linear
.
Passo 5
Portanto, concluímos que a decomposição de Cholesky só é aplicável quando a matriz
atende às condições de ser simétrica e positiva definida.
Resposta
Verdadeiro. A decomposição de Cholesky só pode ser utilizada para resolver sistemas lineares
quando a matriz
é simétrica e positiva definida.
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Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de
são:
. Então o traço de
é 7 e o determinante de
é 15 .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de
são:
. Então
é positiva definida.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz
é malcondicionada para quaisquer valores de
.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de
são:
. Então
é simétrica.