Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares se for simétrica e positiva definida.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos dizer se a afirmação “A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para resolver sistemas lineares se for simétrica e positiva definida” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos falar sobre decomposição de matrizes, especialmente a decomposição de Cholesky, e entender quais são as condições para utilizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a decomposição de Cholesky. Ela é uma técnica usada em álgebra linear que decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta. Isso é representado por:
onde é uma matriz triangular inferior e é sua transposta.

Passo 3

Agora, vamos ver quais são as condições necessárias para aplicar a decomposição de Cholesky. A matriz precisa ser simétrica, o que significa que , e também precisa ser positiva definida. Isso quer dizer que todos os autovalores de são positivos.

Passo 4

Se a matriz não for simétrica ou não for positiva definida, a decomposição de Cholesky não pode ser realizada. Sem essa decomposição, esse método específico não pode ser usado para resolver o sistema linear .

Passo 5

Portanto, concluímos que a decomposição de Cholesky só é aplicável quando a matriz atende às condições de ser simétrica e positiva definida.

Resposta

Verdadeiro. A decomposição de Cholesky só pode ser utilizada para resolver sistemas lineares quando a matriz é simétrica e positiva definida.

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Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então o traço de é 7 e o determinante de é 15 .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é positiva definida.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz é malcondicionada para quaisquer valores de .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é simétrica.