Sabendo que a função intercepta o eixo das abscissas no intervalo . Pede-se para calcular o valor de com tolerância usando os seguintes métodos: Método do ponto fixo com e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função , que intercepta o eixo das abscissas no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz usando o Método do Ponto Fixo. Para isso, vamos utilizar a função e começar com um valor inicial . Vamos iterar esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Antes de mais nada, vamos entender o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica utilizada para encontrar soluções de equações da forma . A ideia é começar com um chute inicial e, então, calcular . Repetimos esse processo, gerando uma sequência , até que a diferença entre os termos consecutivos seja menor que a tolerância estabelecida ( neste caso).

Passo 3

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 0:
Iteração 1:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 4

Iteração 2:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 5

Iteração 3:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 6

Iteração 4:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 7

Iteração 5:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 8

Iteração 6:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 9

Iteração 7:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 10

Iteração 8:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 11

Iteração 9:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 12

Iteração 10:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 13

Iteração 11:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 14

Iteração 12:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:

Passo 15

Continuando com as iterações, observamos que as aproximações estão oscilando em torno de um valor próximo a 0.371. Após várias iterações, a diferença entre os termos consecutivos se aproxima de zero, indicando convergência.

Resposta

Após diversas iterações utilizando o Método do Ponto Fixo com a função e começando com , chegamos a uma aproximação de . A diferença entre duas aproximações consecutivas foi menor que , atendendo à tolerância estabelecida. Portanto, o valor de que satisfaz é aproximadamente 0.371.

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Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função . Considere , critério de parada erro absoluto e tolerância .
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