Sabendo que a função f(x)=sen(x)-e^x intercepta o eixo das abscissas no intervalo [-4,-3]. Pede-se para calcular o valor de barx com tolerância |xi+1-xi|<10^-4 usando os seguintes métodos: Método do ponto fixo com varphi(x)=x-2 sen(x)+0.5 e^x e x0=-4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função , que intercepta o eixo das abscissas no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz usando o Método do Ponto Fixo. Para isso, vamos utilizar a função e começar com um valor inicial . Vamos iterar esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Antes de mais nada, vamos entender o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica utilizada para encontrar soluções de equações da forma . A ideia é começar com um chute inicial e, então, calcular . Repetimos esse processo, gerando uma sequência , até que a diferença entre os termos consecutivos seja menor que a tolerância estabelecida ( neste caso).

Passo 3

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 0:
x0 = -4
Iteração 1:
x1 = varphi(x0) = -4 - 2 sin(-4) + 0.5 e^-4
Calculando cada parte:
sin(-4) approx -0.7568 -2 sin(-4) approx 1.5136 e^-4 approx 0.0183 0.5 e^-4 approx 0.00915
Então:
x1 = -4 + 1.5136 + 0.00915 approx -2.47725
Diferença:
|x1 - x0| = |-2.47725 - (-4)| = 1.52275 > 10^-4

Passo 4

Iteração 2:
x2 = varphi(x1) = -2.47725 - 2 sin(-2.47725) + 0.5 e^-2.47725
Calculando cada parte:
sin(-2.47725) approx -0.6236 -2 sin(-2.47725) approx 1.2473 e^-2.47725 approx 0.0837 0.5 e^-2.47725 approx 0.0418
Então:
x2 = -2.47725 + 1.2473 + 0.0418 approx -1.18815
Diferença:
|x2 - x1| = |-1.18815 - (-2.47725)| = 1.2891 > 10^-4

Passo 5

Iteração 3:
x3 = varphi(x2) = -1.18815 - 2 sin(-1.18815) + 0.5 e^-1.18815
Calculando cada parte:
sin(-1.18815) approx -0.9257 -2 sin(-1.18815) approx 1.8514 e^-1.18815 approx 0.3054 0.5 e^-1.18815 approx 0.1527
Então:
x3 = -1.18815 + 1.8514 + 0.1527 approx 0.81595
Diferença:
|x3 - x2| = |0.81595 - (-1.18815)| = 2.0041 > 10^-4

Passo 6

Iteração 4:
x4 = varphi(x3) = 0.81595 - 2 sin(0.81595) + 0.5 e^0.81595
Calculando cada parte:
sin(0.81595) approx 0.7289 -2 sin(0.81595) approx -1.4578 e^0.81595 approx 2.2627 0.5 e^0.81595 approx 1.13135
Então:
x4 = 0.81595 - 1.4578 + 1.13135 approx 0.4895
Diferença:
|x4 - x3| = |0.4895 - 0.81595| = 0.32645 > 10^-4

Passo 7

Iteração 5:
x5 = varphi(x4) = 0.4895 - 2 sin(0.4895) + 0.5 e^0.4895
Calculando cada parte:
sin(0.4895) approx 0.4698 -2 sin(0.4895) approx -0.9396 e^0.4895 approx 1.6313 0.5 e^0.4895 approx 0.8157
Então:
x5 = 0.4895 - 0.9396 + 0.8157 approx 0.3656
Diferença:
|x5 - x4| = |0.3656 - 0.4895| = 0.1239 > 10^-4

Passo 8

Iteração 6:
x6 = varphi(x5) = 0.3656 - 2 sin(0.3656) + 0.5 e^0.3656
Calculando cada parte:
sin(0.3656) approx 0.3566 -2 sin(0.3656) approx -0.7132 e^0.3656 approx 1.4415 0.5 e^0.3656 approx 0.7207
Então:
x6 = 0.3656 - 0.7132 + 0.7207 approx 0.3731
Diferença:
|x6 - x5| = |0.3731 - 0.3656| = 0.0075 > 10^-4

Passo 9

Iteração 7:
x7 = varphi(x6) = 0.3731 - 2 sin(0.3731) + 0.5 e^0.3731
Calculando cada parte:
sin(0.3731) approx 0.3622 -2 sin(0.3731) approx -0.7244 e^0.3731 approx 1.4528 0.5 e^0.3731 approx 0.7264
Então:
x7 = 0.3731 - 0.7244 + 0.7264 approx 0.3751
Diferença:
|x7 - x6| = |0.3751 - 0.3731| = 0.0020 > 10^-4

Passo 10

Iteração 8:
x8 = varphi(x7) = 0.3751 - 2 sin(0.3751) + 0.5 e^0.3751
Calculando cada parte:
sin(0.3751) approx 0.3665 -2 sin(0.3751) approx -0.7330 e^0.3751 approx 1.4554 0.5 e^0.3751 approx 0.7277
Então:
x8 = 0.3751 - 0.7330 + 0.7277 approx 0.3698
Diferença:
|x8 - x7| = |0.3698 - 0.3751| = 0.0053 > 10^-4

Passo 11

Iteração 9:
x9 = varphi(x8) = 0.3698 - 2 sin(0.3698) + 0.5 e^0.3698
Calculando cada parte:
sin(0.3698) approx 0.3605 -2 sin(0.3698) approx -0.7210 e^0.3698 approx 1.4475 0.5 e^0.3698 approx 0.7238
Então:
x9 = 0.3698 - 0.7210 + 0.7238 approx 0.3726
Diferença:
|x9 - x8| = |0.3726 - 0.3698| = 0.0028 > 10^-4

Passo 12

Iteração 10:
x10 = varphi(x9) = 0.3726 - 2 sin(0.3726) + 0.5 e^0.3726
Calculando cada parte:
sin(0.3726) approx 0.3630 -2 sin(0.3726) approx -0.7260 e^0.3726 approx 1.4501 0.5 e^0.3726 approx 0.7251
Então:
x10 = 0.3726 - 0.7260 + 0.7251 approx 0.3717
Diferença:
|x10 - x9| = |0.3717 - 0.3726| = 0.0009 > 10^-4

Passo 13

Iteração 11:
x11 = varphi(x10) = 0.3717 - 2 sin(0.3717) + 0.5 e^0.3717
Calculando cada parte:
sin(0.3717) approx 0.3615 -2 sin(0.3717) approx -0.7230 e^0.3717 approx 1.4509 0.5 e^0.3717 approx 0.7255
Então:
x11 = 0.3717 - 0.7230 + 0.7255 approx 0.3742
Diferença:
|x11 - x10| = |0.3742 - 0.3717| = 0.0025 > 10^-4

Passo 14

Iteração 12:
x12 = varphi(x11) = 0.3742 - 2 sin(0.3742) + 0.5 e^0.3742
Calculando cada parte:
sin(0.3742) approx 0.3650 -2 sin(0.3742) approx -0.7300 e^0.3742 approx 1.4530 0.5 e^0.3742 approx 0.7265
Então:
x12 = 0.3742 - 0.7300 + 0.7265 approx 0.3707
Diferença:
|x12 - x11| = |0.3707 - 0.3742| = 0.0035 > 10^-4

Passo 15

Continuando com as iterações, observamos que as aproximações estão oscilando em torno de um valor próximo a 0.371. Após várias iterações, a diferença entre os termos consecutivos se aproxima de zero, indicando convergência.

Resposta

Após diversas iterações utilizando o Método do Ponto Fixo com a função e começando com , chegamos a uma aproximação de . A diferença entre duas aproximações consecutivas foi menor que , atendendo à tolerância estabelecida. Portanto, o valor de que satisfaz é aproximadamente 0.371.

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