Sabendo que a função
intercepta o eixo das abscissas no intervalo
. Pede-se para calcular o valor de
com tolerância
usando os seguintes métodos: Método do ponto fixo com
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
, que intercepta o eixo das abscissas no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz
usando o Método do Ponto Fixo. Para isso, vamos utilizar a função
e começar com um valor inicial
. Vamos iterar esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que
.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos entender o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica utilizada para encontrar soluções de equações da forma
. A ideia é começar com um chute inicial
e, então, calcular
. Repetimos esse processo, gerando uma sequência
, até que a diferença entre os termos consecutivos seja menor que a tolerância estabelecida (
neste caso).
Passo 3
Vamos iniciar as iterações:
Iteração 0:
Iteração 1:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 4
Iteração 2:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 5
Iteração 3:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 6
Iteração 4:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 7
Iteração 5:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 8
Iteração 6:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 9
Iteração 7:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 10
Iteração 8:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 11
Iteração 9:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 12
Iteração 10:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 13
Iteração 11:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 14
Iteração 12:
Calculando cada parte:
Então:
Diferença:
Passo 15
Continuando com as iterações, observamos que as aproximações estão oscilando em torno de um valor próximo a 0.371. Após várias iterações, a diferença entre os termos consecutivos se aproxima de zero, indicando convergência.
Resposta
Após diversas iterações utilizando o Método do Ponto Fixo com a função
e começando com
, chegamos a uma aproximação de
. A diferença entre duas aproximações consecutivas foi menor que
, atendendo à tolerância estabelecida. Portanto, o valor de
que satisfaz
é aproximadamente 0.371.
Exercícios relacionados
Usando o método da bisseção, obtenha o valor de
. Considere
, critério de parada
e tolerância
.
Sabendo que a função
intercepta o eixo das abscissas no intervalo
. Pede-se para calcular o valor de
com tolerância
usando os seguintes métodos: Método de Newton com
.
Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função
. Considere
, critério de parada erro absoluto e tolerância
.
Sabendo que
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar no intervalo
a convergência quando:
.