Usando o método da bisseção, obtenha o valor de raiz3. Considere xi in[1,2], critério de parada |f(x)| e tolerância varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de raiz3 usando o método da bisseção. Aqui estamos trabalhando com métodos numéricos, especificamente o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Precisaremos definir uma função adequada, escolher um intervalo inicial que contenha a raiz e aplicar o método até que a aproximação seja suficientemente precisa, no nosso caso, com uma tolerância de varepsilon <= 10^-3.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função cuja raiz queremos encontrar. Como buscamos raiz3, sabemos que raiz3 é a raiz da função f(x) = x^2 - 3, pois f(raiz3) = (raiz3)^2 - 3 = 0.

Passo 3

Escolhemos o intervalo inicial [a, b] = [1, 2], já que sabemos que 1^2 = 1 < 3 e 2^2 = 4 > 3, o que indica que raiz3 está entre 1 e 2.

Passo 4

Calculamos o ponto médio do intervalo: m = a + b2 = 1 + 22 = 1.5. Avaliamos a função em m: f(1.5) = (1.5)^2 - 3 = 2.25 - 3 = -0.75.

Passo 5

Verificamos o sinal de f(a) e f(m). Temos f(a) = f(1) = 1^2 - 3 = -2 e f(m) = f(1.5) = -0.75. Como ambos são negativos, a raiz está no intervalo [1.5, 2].

Passo 6

Atualizamos o intervalo para [1.5, 2]. Calculamos o novo ponto médio: m = 1.5 + 22 = 1.75. Avaliamos a função em m: f(1.75) = (1.75)^2 - 3 = 3.0625 - 3 = 0.0625.

Passo 7

Agora, verificamos os sinais de f(a) e f(m). Temos f(a) = f(1.5) = -0.75 e f(m) = f(1.75) = 0.0625. Como os sinais são diferentes, a raiz está no intervalo [1.5, 1.75].

Passo 8

Continuamos o processo. Calculamos o ponto médio do novo intervalo: m = 1.5 + 1.752 = 1.625. Avaliamos a função em m: f(1.625) = (1.625)^2 - 3 = 2.6406 - 3 = -0.3594.

Passo 9

Verificamos os sinais novamente. f(a) = f(1.625) = -0.3594 e f(m) = f(1.75) = 0.0625. Como os sinais são diferentes, a raiz está no intervalo [1.625, 1.75].

Passo 10

Repetimos o processo até que |f(m)| <= 10^-3. Após mais algumas iterações, continuamos afinando o intervalo até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Aproximadamente, raiz3 approx 1.732.

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