Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função f(x)=x-raiz2+x. Considere x0=2.5, critério de parada erro absoluto e tolerância varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método do ponto fixo. A gente precisa encontrar a raiz positiva da função . Para isso, vamos usar uma sequência que começa com e vai iterando até a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor ou igual a , que é nossa tolerância para o erro absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que ela seja igual a f(x) = x - raiz2 + x . Isso é importante porque, no método do ponto fixo, queremos expressar f(x) = 0 Rightarrow x = raiz2 + x em termos de uma função g(x) = raiz2 + x .
A função dada é:
Vamos arregalar para isolar :
Então, a função que vamos usar é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do método do ponto fixo:
xn+1 = g(xn)
Começando com x1 = raiz2 + 2.5 = raiz4.5 approx 2.1213 , vamos calcular :

Passo 4

Vamos calcular x2 = raiz2 + 2.1213 = raiz4.1213 approx 2.0303 usando |x2 - x1| = |2.0303 - 2.1213| approx 0.091 :
Agora, verificamos o erro absoluto entre e :
Como , precisamos continuar.

Passo 5

Calculando x3 = raiz2 + 2.0303 = raiz4.0303 approx 2.0076 :
|x3 - x2| = |2.0076 - 2.0303| approx 0.0227
Erro absoluto:
Ainda maior que , seguimos em frente.

Passo 6

Calculando x4 = raiz2 + 2.0076 = raiz4.0076 approx 2.0020 :
|x4 - x3| = |2.0020 - 2.0076| approx 0.0056
Erro absoluto:
Continuamos, pois .

Passo 7

Calculando x5 = raiz2 + 2.0020 = raiz4.0020 approx 2.0005 :
|x5 - x4| = |2.0005 - 2.0020| approx 0.0015
Erro absoluto:
Ainda não atingimos a tolerância, pois .

Passo 8

Calculando x6 = raiz2 + 2.0005 = raiz4.0005 approx 2.0001 :
|x6 - x5| = |2.0001 - 2.0005| approx 0.0004
Erro absoluto:
Agora, , então paramos aqui.

Resposta

A raiz positiva da função utilizando o método do ponto fixo é aproximadamente .

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