Sabendo que pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar no intervalo a convergência quando: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a equação usando um método iterativo. Para isso, transformamos a equação em , onde . Queremos analisar se, aplicando a iteração , conseguimos convergir para uma solução dentro do intervalo . Vamos precisar entender sobre métodos iterativos e condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar a equação em . Aqui, definimos . Isso significa que, se encontramos um ponto onde , então esse é solução da nossa equação original.
Passo 3
Agora, para que o método iterativo funcione e converja para a solução, precisamos verificar algumas condições. Uma coisa importante é que a função seja contínua no intervalo . Felizmente, é contínua para , então estamos tranquilos nesse aspecto.
Passo 4
O próximo passo é analisar a derivada de , que é . A condição chave para garantir a convergência é que o valor absoluto dessa derivada seja menor que 1 no intervalo considerado.
Passo 5
Vamos calcular no intervalo :
Para :
Para :
Perceba que em ambos os extremos, é maior que 1. Isso indica que a condição necessária para a convergência não é satisfeita nesse intervalo.
Passo 6
Além disso, podemos observar que a função no intervalo tende a gerar valores que saem desse intervalo quando aplicamos a iteração. Por exemplo:
Se , então (dentro do intervalo)
Se , então (fora do intervalo)
Isso reforça que o processo iterativo pode não se manter dentro do intervalo , dificultando a convergência.
Resposta
Com base na análise da derivada de e no comportamento da iteração no intervalo , concluímos que o método iterativo não converge nesse intervalo.