Sabendo que f(x)=x+ln x=0 pode ser transformado num problema equivalente da forma x=psi(x). Para o processo iterativo definido por xk+1=psi(xk); analisar no intervalo [0.5,0.7] a convergência quando: psi(x)=-ln x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a equação usando um método iterativo. Para isso, transformamos a equação em , onde . Queremos analisar se, aplicando a iteração , conseguimos convergir para uma solução dentro do intervalo . Vamos precisar entender sobre métodos iterativos e condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transformar a equação em . Aqui, definimos . Isso significa que, se encontramos um ponto onde , então esse é solução da nossa equação original.

Passo 3

Agora, para que o método iterativo funcione e converja para a solução, precisamos verificar algumas condições. Uma coisa importante é que a função seja contínua no intervalo . Felizmente, é contínua para , então estamos tranquilos nesse aspecto.

Passo 4

O próximo passo é analisar a derivada de , que é . A condição chave para garantir a convergência é que o valor absoluto dessa derivada seja menor que 1 no intervalo considerado.

Passo 5

Vamos calcular no intervalo :
  • Para :
  • Para :
Perceba que em ambos os extremos, é maior que 1. Isso indica que a condição necessária para a convergência não é satisfeita nesse intervalo.

Passo 6

Além disso, podemos observar que a função no intervalo tende a gerar valores que saem desse intervalo quando aplicamos a iteração. Por exemplo:
  • Se , então (dentro do intervalo)
  • Se , então (fora do intervalo)
Isso reforça que o processo iterativo pode não se manter dentro do intervalo , dificultando a convergência.

Resposta

Com base na análise da derivada de e no comportamento da iteração no intervalo , concluímos que o método iterativo não converge nesse intervalo.

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