Sabendo que a função f(x)=sen(x)-e^x intercepta o eixo das abscissas no intervalo [-4,-3]. Pede-se para calcular o valor de barx com tolerância |xi+1-xi|<10^-4 usando os seguintes métodos: Método da bisseção.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e sabemos que ela cruza o eixo das abscissas (ou seja, ) no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz com uma tolerância de usando o Método da Bisseção. Para isso, vamos precisar entender como o Método da Bisseção funciona e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

O Método da Bisseção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas que mudam de sinal em um intervalo. O processo envolve dividir o intervalo em duas partes iguais e escolher a subintervalo onde a função muda de sinal, repetindo esse processo até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Primeiro, verificamos se a função muda de sinal no intervalo f(-4) = sin(-4) - e^-4 approx 0.7568 - 0.0183 = 0.7385 . Calculamos f(-3) = sin(-3) - e^-3 approx -0.1411 - 0.0498 = -0.1909 e :
Como e , a função muda de sinal no intervalo, confirmando que há uma raiz lá.

Passo 4

Agora, vamos iniciar o Método da Bisseção. Definimos:
a = -4 e b = -3
Calculamos o ponto médio c = a + b2 = -4 + (-3)2 = -3.5 :
f(-3.5) = sin(-3.5) - e^-3.5 approx 0.3508 - 0.0302 = 0.3206
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = -3.5 + (-3)2 = -3.25 :
f(-3.25) = sin(-3.25) - e^-3.25 approx -0.0917 - 0.0386 = -0.1303
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = -3.5 + (-3.25)2 = -3.375 :
f(-3.375) = sin(-3.375) - e^-3.375 approx -0.2557 - 0.0343 = -0.2900
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Prosseguimos com o intervalo c = -3.5 + (-3.375)2 = -3.4375 :
f(-3.4375) = sin(-3.4375) - e^-3.4375 approx -0.2823 - 0.0322 = -0.3145
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Repetimos o processo até que a diferença entre os pontos seja menor que . Após várias iterações, chegamos a um valor de com a precisão desejada.

Resposta

O valor aproximado de que satisfaz no intervalo com tolerância é aproximadamente .

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