Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função f(x)=x-sen x-14. Considere x0=1.1, critério de parada erro absoluto e tolerância varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método do ponto fixo para encontrar a raiz positiva da função . O método do ponto fixo é uma técnica iterativa que nos ajuda a encontrar soluções de equações da forma .
Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que fique . Além disso, vamos usar o valor inicial e continuar as iterações até que o erro absoluto seja menor ou igual a (ou seja, 0,01).

Passo 2

Vamos reescrever a equação x = sin(x) + 14 de forma que fique :
Aqui, . Esse rearranjo nos permite aplicar o método do ponto fixo, onde a próxima aproximação é calculada usando .

Passo 3

Agora, vamos começar as iterações com o valor inicial x1 = sin(x0) + 14 = sin(1.1) + 0.25 approx 0.8912 + 0.25 = 1.1412 .
Primeira iteração ( |x1 - x0| = |1.1412 - 1.1| = 0.0412 ):
x2 = sin(x1) + 14 = sin(1.1412) + 0.25 approx 0.9073 + 0.25 = 1.1573
Calculamos a diferença:
|x2 - x1| = |1.1573 - 1.1412| = 0.0161
Como x3 = sin(x2) + 14 = sin(1.1573) + 0.25 approx 0.9177 + 0.25 = 1.1677 , precisamos continuar.
Segunda iteração ( |x3 - x2| = |1.1677 - 1.1573| = 0.0104 ):
x4 = sin(x3) + 14 = sin(1.1677) + 0.25 approx 0.9237 + 0.25 = 1.1737
Diferença:
|x4 - x3| = |1.1737 - 1.1677| = 0.0060
Ainda , então vamos mais uma vez.
Terceira iteração ( ):
Diferença:
Ainda um pouco acima de , precisamos de mais uma iteração.
Quarta iteração ( ):
Diferença:
Agora, , então paramos as iterações.

Resposta

A raiz positiva da função encontrada pelo método do ponto fixo é aproximadamente .

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