Sabendo que a função f(x)=sen(x)-e^x intercepta o eixo das abscissas no intervalo [-4,-3]. Pede-se para calcular o valor de barx com tolerância |xi+1-xi|<10^-4 usando os seguintes métodos: Método da secante com x0=-4 e x1=-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que corta o eixo das abscissas no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de onde isso acontece, usando o Método da Secante. Para isso, precisamos aplicar a fórmula do método com as aproximações iniciais e , até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Secante. Esse método é uma maneira de encontrar raízes de funções (onde xi+1 = xi - f(xi) cdot xi - xi-1f(xi) - f(xi-1) ) usando duas aproximações iniciais e a seguinte fórmula:
Ou seja, a próxima aproximação é calculada a partir das duas anteriores.

Passo 3

Vamos calcular f(-4) = sin(-4) - e^-4 approx 0.7568 - 0.0183 = 0.7385 e f(-3) = sin(-3) - e^-3 approx -0.1411 - 0.0498 = -0.1909 :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Secante para encontrar x2 = -3 - (-0.1909) cdot -3 - (-4)-0.1909 - 0.7385 :
x2 = -3 + 0.1909 cdot 1-0.9294 approx -3 - 0.02057 = -3.02057
Verificamos a diferença: , que ainda é maior que . Então, precisamos continuar.

Passo 5

Calculamos f(-3.02057) = sin(-3.02057) - e^-3.02057 approx -0.1413 - 0.0483 = -0.1896 :
x3 = -3.02057 - (-0.1896) cdot -3.02057 - (-3)-0.1896 - (-0.1909)
Aplicamos a fórmula novamente para encontrar x3 = -3.02057 + 0.1896 cdot -0.020570.0013 approx -3.02057 - 3.0000 = -6.02057 :
Mas isso nos leva para fora do intervalo. Parece que precisamos ajustar nosso método ou verificar os cálculos.

Passo 6

Vamos recalcular f(-4) = sin(-4) - e^-4 approx -0.7568 - 0.0183 = -0.7751 com mais precisão:
f(-3) = sin(-3) - e^-3 approx -0.1411 - 0.0498 = -0.1909
x2 = -3 - (-0.1909) cdot -3 - (-4)-0.1909 - (-0.7751)
x2 = -3 + 0.1909 cdot 10.5842 approx -3 + 0.3269 = -2.6731
Diferença: . Continuamos.

Passo 7

Calculamos f(-2.6731) = sin(-2.6731) - e^-2.6731 approx -0.4360 - 0.0694 = -0.5054 :
x3 = -2.6731 - (-0.5054) cdot -2.6731 - (-3)-0.5054 - (-0.1909)
Aplicamos a fórmula para encontrar x3 = -2.6731 + 0.5054 cdot 0.3269-0.3145 approx -2.6731 - 0.5250 = -3.1981 :
Diferença: . Seguimos iterando.

Passo 8

Continuamos esse processo iterativamente até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Após várias iterações, chegamos a:

Resposta

O valor de aproximado é .

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