O seguinte sistema:
l 4 x+b y-11 z=-3 x-y+z=3 2 x+y-3 z=1
é possível e indeterminado para o seguinte valor de b :
(a) 5
(b) 6
© -5
(d) -6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro b. A questão nos pergunta para qual valor de b o sistema possui soluções e é indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes de matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Para verificar se o sistema é indeterminado, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções (indeterminado) ou nenhuma solução (inconsistente). Porém, como a questão afirma que o sistema é possível e indeterminado, basta encontrarmos o valor de b que torna o determinante igual a zero.

Passo 3

Vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
4 & b & -11 1 & -1 & 1 2 & 1 & -3
O determinante dessa matriz ( De) é calculado da seguinte forma:
De

Passo 4

Vamos calcular cada determinante menor:
  1. Para 4:
-1 & 1 1 & -3 = (-1)(-3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2
  1. Para -b:
1 & 1 2 & -3 = (1)(-3) - (1)(2) = -3 - 2 = -5
  1. Para -11:
1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3

Passo 5

Substituindo os valores calculados no determinante total:
De

Passo 6

Para o sistema ser indeterminado, o determinante deve ser igual a zero:
5b - 25 = 0 5b = 25 b = 255 b = 5

Resposta

O valor de b que torna o sistema possível e indeterminado é 5.

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