Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro b. A questão nos pergunta para qual valor de b o sistema possui soluções e é indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes de matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Para verificar se o sistema é indeterminado, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções (indeterminado) ou nenhuma solução (inconsistente). Porém, como a questão afirma que o sistema é possível e indeterminado, basta encontrarmos o valor de b que torna o determinante igual a zero.
Passo 3
Vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
4 & b & -11 1 & -1 & 1 2 & 1 & -3
O determinante dessa matriz (De) é calculado da seguinte forma:
De
Passo 4
Vamos calcular cada determinante menor:
Para 4:
-1 & 1 1 & -3 = (-1)(-3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2
Para -b:
1 & 1 2 & -3 = (1)(-3) - (1)(2) = -3 - 2 = -5
Para -11:
1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3
Passo 5
Substituindo os valores calculados no determinante total:
De
Passo 6
Para o sistema ser indeterminado, o determinante deve ser igual a zero:
5b - 25 = 0 5b = 25 b = 255 b = 5
Resposta
O valor de b que torna o sistema possível e indeterminado é 5.