Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (, , ) e um parâmetro . A questão nos pergunta para qual valor de o sistema possui soluções e é indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes de matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Para verificar se o sistema é indeterminado, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções (indeterminado) ou nenhuma solução (inconsistente). Porém, como a questão afirma que o sistema é possível e indeterminado, basta encontrarmos o valor de que torna o determinante igual a zero.
Passo 3
Vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
O determinante dessa matriz () é calculado da seguinte forma:
Passo 4
Vamos calcular cada determinante menor:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Substituindo os valores calculados no determinante total:
Passo 6
Para o sistema ser indeterminado, o determinante deve ser igual a zero:
Resposta
O valor de que torna o sistema possível e indeterminado é 5.