Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) t^2 y^prime prime-(t+2) t y^prime+(t-2) y=0 t>0, y1=t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. O enunciado pede para encontrar uma solução diferente da que já foi dada, que é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método da redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação diferencial dada:
t^2 y'' - (t+2) t y' + (t-2) y = 0
Sabemos que é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução que seja diferente de .

Passo 3

Vamos usar o método da redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução y2 = t cdot v(t) pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar. Então, vamos definir:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y2' = t cdot v' + v . Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de y2'' = t cdot v'' + 2 v' :

Passo 5

Vamos substituir t^2 (t v'' + 2 v') - (t + 2) t (t v' + v) + (t - 2) t v = 0 , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Distribuindo os termos, temos:
t^3 v'' + 2 t^2 v' - t^2 (t v' + v) - 2 t (t v' + v) + t (t - 2) v = 0
Simplificando cada termo:
t^3 v'' + 2 t^2 v' - t^3 v' - t^2 v - 2 t^2 v' - 2 t v + t^2 v - 2 t v = 0

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
t^3 v'' + (2 t^2 v' - t^3 v' - 2 t^2 v') + (- t^2 v + t^2 v) + (-2 t v - 2 t v) = 0
Isso simplifica para:
t^3 v'' - t^3 v' - 4 t v = 0

Passo 8

Dividindo toda a equação por v'' - v' - 4t^2 v = 0 para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples para .

Passo 9

Para resolver essa equação, vamos considerar que k(k - 1) t^k - 2 - k t^k - 2 - 4t^2 t^k = 0 pode ser uma função de potência. Tentaremos uma solução da forma k(k - 1) t^k - 2 - k t^k - 2 - 4 t^k - 2 = 0 . Substituindo na equação:
(k^2 - k - k - 4) t^k - 2 = 0
Simplificando:
(k^2 - 2k - 4) t^k - 2 = 0

Passo 10

Para que essa equação seja válida para todo k^2 - 2k - 4 = 0 , o coeficiente deve ser zero:
k = 2 pm raiz4 + 162 = 2 pm raiz202 = 1 pm raiz5
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 11

Assim, temos duas soluções para k1 = 1 + raiz5 e k2 = 1 - raiz5 :
v(t) = t^1 + raiz5 e v(t) = t^1 - raiz5
Portanto, as soluções para são:

Passo 12

Voltemos à nossa segunda solução y2 = t cdot t^1 + raiz5 = t^2 + raiz5 e y2 = t cdot t^1 - raiz5 = t^2 - raiz5 . Substituindo :

Resposta

Uma segunda solução distinta é .

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