Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. O enunciado pede para encontrar uma solução diferente da que já foi dada, que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método da redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação diferencial dada:
Sabemos que
é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
que seja diferente de
.
Passo 3
Vamos usar o método da redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos determinar. Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 5
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 6
Distribuindo os termos, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 8
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples para
.
Passo 9
Para resolver essa equação, vamos considerar que
pode ser uma função de potência. Tentaremos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 10
Para que essa equação seja válida para todo
, o coeficiente deve ser zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 11
Assim, temos duas soluções para
:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 12
Voltemos à nossa segunda solução
. Substituindo
:
Resposta
Uma segunda solução distinta é
.