Seja f(x)=x^4+6 x^3-47 x^2-60 x+100, qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método da Secante na quarta iteração ( barx4 )? Qual o erro relativo da resposta? Para os cálculos use o intervalo [lla & b]=[ll-3 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma raiz aproximada da função usando o método da Secante na quarta iteração ( ). Além disso, precisamos calcular o erro relativo dessa resposta. Para resolver isso, vamos usar o intervalo inicial .
Conteúdo da matéria: Método da Secante, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico sobre gráficos de funções.
  • Fórmula do método da Secante.
  • Cálculo de erros relativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da Secante. Esse método aproxima a raiz de uma função usando duas aproximações iniciais e, em seguida, gera novas aproximações usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Basicamente, desenhamos uma linha secante entre dois pontos da função e onde essa linha cruza o eixo dá uma nova aproximação para a raiz.

Passo 3

Vamos começar com as aproximações iniciais f(-3) = (-3)^4 + 6(-3)^3 - 47(-3)^2 - 60(-3) + 100 = 81 - 162 - 423 + 180 + 100 = -224 e f(0) = (0)^4 + 6(0)^3 - 47(0)^2 - 60(0) + 100 = 0 + 0 - 0 - 0 + 100 = 100 . Precisamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Secante para encontrar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) = 0 - 100 cdot 0 - (-3)100 - (-224) = 0 - 100 cdot 3324 approx 0 - 0,9259 approx -0,9259 :
Portanto, .

Passo 5

Calculamos agora f(-0,9259) approx (-0,9259)^4 + 6(-0,9259)^3 - 47(-0,9259)^2 - 60(-0,9259) + 100 :
approx 0,7317 - 4,6846 - 40,2375 + 55,554 + 100 approx 111,3646
Fazendo as contas:

Passo 6

Agora, encontramos x3 = x2 - f(x2) cdot x2 - x1f(x2) - f(x1) approx -0,9259 - 111,3646 cdot -0,9259 - 0111,3646 - 100 approx -0,9259 - 111,3646 cdot -0,925911,3646 approx -0,9259 + 9,073 approx 8,1471 usando e :

Passo 7

Vamos calcular f(8,1471) approx (8,1471)^4 + 6(8,1471)^3 - 47(8,1471)^2 - 60(8,1471) + 100 :
approx 4390,4 + 3183,8 - 3111,4 - 488,8 + 100 approx 2174,8
Fazendo as contas:

Passo 8

Agora, encontramos x4 = x3 - f(x3) cdot x3 - x2f(x3) - f(x2) approx 8,1471 - 2174,8 cdot 8,1471 - (-0,9259)2174,8 - 111,3646 approx 8,1471 - 2174,8 cdot 9,0732063,4354 approx 8,1471 - 9,573 approx -1,4259 usando e :
Portanto, .

Resposta

A raiz aproximada após a quarta iteração do método da Secante é Erro relativo = | x4 - x3x4 | approx | -1,4259 - 8,1471-1,4259 | approx | -9,573-1,4259 | approx 6,716 . O erro relativo dessa resposta pode ser calculado usando a fórmula:
Então, o erro relativo é aproximadamente 6,716 ou 671,6%.

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