Seja , qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método da Secante na quarta iteração ( )? Qual o erro relativo da resposta? Para os cálculos use o intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma raiz aproximada da função usando o método da Secante na quarta iteração (). Além disso, precisamos calcular o erro relativo dessa resposta. Para resolver isso, vamos usar o intervalo inicial .
Conteúdo da matéria: Método da Secante, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.
O que vamos precisar:
Conhecimento básico sobre gráficos de funções.
Fórmula do método da Secante.
Cálculo de erros relativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da Secante. Esse método aproxima a raiz de uma função usando duas aproximações iniciais e, em seguida, gera novas aproximações usando a fórmula:
Basicamente, desenhamos uma linha secante entre dois pontos da função e onde essa linha cruza o eixo dá uma nova aproximação para a raiz.
Passo 3
Vamos começar com as aproximações iniciais e . Precisamos calcular e :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da Secante para encontrar :
Portanto, .
Passo 5
Calculamos agora :
Fazendo as contas:
Passo 6
Agora, encontramos usando e :
Passo 7
Vamos calcular :
Fazendo as contas:
Passo 8
Agora, encontramos usando e :
Portanto, .
Resposta
A raiz aproximada após a quarta iteração do método da Secante é . O erro relativo dessa resposta pode ser calculado usando a fórmula:
Então, o erro relativo é aproximadamente 6,716 ou 671,6%.