Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar um polinômio interpolador para estimar pela função . A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que serve para aproximar funções usando polinômios com base em pontos conhecidos. Para isso, vamos precisar dos valores de para , e que já estão na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o polinômio interpolador. Vamos usar o Método de Lagrange, que é uma forma simples de montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos 3 pontos) é:
Aqui, , , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Para calcular o erro de truncamento, vamos usar a fórmula do erro no polinômio interpolador de Lagrange:
Aqui, , então precisamos da terceira derivada de . A função tem derivadas:
Assumindo que está entre 1 e 2, o máximo valor absoluto de será .
Então:

Resposta

A estimativa de usando o polinômio interpolador é aproximadamente e o erro de truncamento é no máximo .

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.