Seja f(x)=x ln (x) e a tabela abaixo:
x 1 1,5 2
f(x) 0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de f(1,8) e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar um polinômio interpolador para estimar pela função . A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que serve para aproximar funções usando polinômios com base em pontos conhecidos. Para isso, vamos precisar dos valores de para , e que já estão na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o polinômio interpolador. Vamos usar o Método de Lagrange, que é uma forma simples de montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos 3 pontos) é:
P(x) = f(x0) cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + f(x1) cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + f(x2) cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
Aqui, , , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(x) = 0 cdot (x - 1,5)(x - 2)(1 - 1,5)(1 - 2) + 0,60819 cdot (x - 1)(x - 2)(1,5 - 1)(1,5 - 2) + 1,38629 cdot (x - 1)(x - 1,5)(2 - 1)(2 - 1,5)
Simplificando cada termo:
P(x) = 0 + 0,60819 cdot (x - 1)(x - 2)0,5 cdot (-0,5) + 1,38629 cdot (x - 1)(x - 1,5)1 cdot 0,5
P(x) = 0,60819 cdot (x - 1)(x - 2)-0,25 + 1,38629 cdot (x - 1)(x - 1,5)0,5
P(x) = -2,43276 (x - 1)(x - 2) + 2,77258 (x - 1)(x - 1,5)
Agora, vamos calcular P(1,8) = -2,43276 (1,8 - 1)(1,8 - 2) + 2,77258 (1,8 - 1)(1,8 - 1,5) :
P(1,8) = -2,43276 (0,8)(-0,2) + 2,77258 (0,8)(0,3)
P(1,8) = -2,43276 cdot (-0,16) + 2,77258 cdot 0,24
P(1,8) = 0,3892416 + 0,665420
P(1,8) approx 1,05466

Passo 4

Para calcular o erro de truncamento, vamos usar a fórmula do erro no polinômio interpolador de Lagrange:
E(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! (x - x0)(x - x1)(x - x2)
Aqui, f'(x) = ln(x) + 1 , então precisamos da terceira derivada de f''(x) = 1x . A função f'''(x) = -1x^2 tem derivadas:
|E(1,8)| <= 13! |(1,8 - 1)(1,8 - 1,5)(1,8 - 2)|
|E(1,8)| <= 16 |0,8 cdot 0,3 cdot (-0,2)|
|E(1,8)| <= 16 cdot 0,048
Assumindo que |E(1,8)| <= 0,008 está entre 1 e 2, o máximo valor absoluto de será .
Então:

Resposta

A estimativa de usando o polinômio interpolador é aproximadamente e o erro de truncamento é no máximo .

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