Seja
e a tabela abaixo:
|
1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
|
0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar um polinômio interpolador para estimar
pela função
. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que serve para aproximar funções usando polinômios com base em pontos conhecidos. Para isso, vamos precisar dos valores de
para
,
e
que já estão na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o polinômio interpolador. Vamos usar o Método de Lagrange, que é uma forma simples de montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos 3 pontos) é:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Para calcular o erro de truncamento, vamos usar a fórmula do erro no polinômio interpolador de Lagrange:
Aqui,
, então precisamos da terceira derivada de
. A função
tem derivadas:
Assumindo que
está entre 1 e 2, o máximo valor absoluto de
será
.
Então:
Resposta
A estimativa de
usando o polinômio interpolador é aproximadamente
e o erro de truncamento é no máximo
.
Exercícios relacionados
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Seja
e a tabela abaixo:
|
0 |
|
1 |
|
---|---|---|---|---|
|
1 | 0 | -1 | 0 |
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?
Seja
e a tabela abaixo:
|
1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
|
0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Seja
e a tabela abaixo:
|
0 |
|
1 |
|
---|---|---|---|---|
|
1 | 0 | -1 | 0 |
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para