Seja
e a tabela abaixo:
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1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
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0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar um polinômio interpolador para estimar
pela função
. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que serve para aproximar funções usando polinômios com base em pontos conhecidos. Para isso, vamos precisar dos valores de
para
,
e
que já estão na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o polinômio interpolador. Vamos usar o Método de Lagrange, que é uma forma simples de montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos 3 pontos) é:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Para calcular o erro de truncamento, vamos usar a fórmula do erro no polinômio interpolador de Lagrange:
Aqui,
, então precisamos da terceira derivada de
. A função
tem derivadas:
Assumindo que
está entre 1 e 2, o máximo valor absoluto de
será
.
Então:
Resposta
A estimativa de
usando o polinômio interpolador é aproximadamente
e o erro de truncamento é no máximo
.