Seja
e a tabela abaixo:
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0 |
|
1 |
|
---|---|---|---|---|
|
1 | 0 | -1 | 0 |
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e uma tabela de valores para alguns pontos específicos de
. O que precisamos fazer aqui é encontrar o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo
. Basicamente, isso significa determinar o maior erro que podemos esperar ao aproximar a função
nesse intervalo. Além disso, queremos saber em qual ponto desse intervalo esse erro máximo ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é erro de truncamento. Em métodos de aproximação, como séries de Taylor ou interpolação polinomial, o erro de truncamento é a diferença entre a função real
e a sua aproximação
quando usamos apenas os primeiros
termos da série ou do polinômio. Esse erro nos dá uma ideia de quão precisa é a nossa aproximação.
Passo 3
Para encontrar o limitante superior desse erro no intervalo
, podemos usar a fórmula do erro para a interpolação polinomial de grau
:
Aqui,
é um bound superior para a
-ésima derivada de
no intervalo considerado, e
são os pontos onde a interpolação está sendo feita.
Passo 4
No nosso caso, vamos supor que estamos usando um polinômio de interpolação de grau 1 (uma reta) para aproximar
no intervalo
. Isso significa que
, e os pontos de interpolação são
e
.
A derivada de
é:
Para encontrar
, precisamos do valor máximo absoluto de
no intervalo
. Sabendo que
, temos:
Então,
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do erro:
Queremos encontrar o máximo desse valor no intervalo
. Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Como estamos no intervalo
,
será sempre negativo ou zero, ent��o:
Passo 6
Para encontrar o ponto onde esse termo atinge o máximo, derivamos em relação a
:
Igualando a zero para encontrar os extremos:
Isso significa que o erro máximo ocorre em
.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão do erro:
Resposta
O limitante superior para o erro de truncamento no intervalo
é
, e esse erro máximo ocorre em
.
Exercícios relacionados
Seja
e a tabela abaixo:
|
1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
|
0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Seja
e a tabela abaixo:
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1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
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0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de