Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e uma tabela de valores para alguns pontos específicos de . O que precisamos fazer aqui é encontrar o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo . Basicamente, isso significa determinar o maior erro que podemos esperar ao aproximar a função nesse intervalo. Além disso, queremos saber em qual ponto desse intervalo esse erro máximo ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é erro de truncamento. Em métodos de aproximação, como séries de Taylor ou interpolação polinomial, o erro de truncamento é a diferença entre a função real e a sua aproximação quando usamos apenas os primeiros termos da série ou do polinômio. Esse erro nos dá uma ideia de quão precisa é a nossa aproximação.

Passo 3

Para encontrar o limitante superior desse erro no intervalo , podemos usar a fórmula do erro para a interpolação polinomial de grau :
Aqui, é um bound superior para a -ésima derivada de no intervalo considerado, e são os pontos onde a interpolação está sendo feita.

Passo 4

No nosso caso, vamos supor que estamos usando um polinômio de interpolação de grau 1 (uma reta) para aproximar no intervalo . Isso significa que , e os pontos de interpolação são e .
A derivada de é:
Para encontrar , precisamos do valor máximo absoluto de no intervalo . Sabendo que , temos:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do erro:
Queremos encontrar o máximo desse valor no intervalo . Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Como estamos no intervalo , será sempre negativo ou zero, ent��o:

Passo 6

Para encontrar o ponto onde esse termo atinge o máximo, derivamos em relação a :
Igualando a zero para encontrar os extremos:
Isso significa que o erro máximo ocorre em .

Passo 7

Agora, substituímos na expressão do erro:

Resposta

O limitante superior para o erro de truncamento no intervalo é , e esse erro máximo ocorre em .

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Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
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Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Seja e a tabela abaixo:
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0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
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a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.