Seja f(x)=x ln (x) e a tabela abaixo:
x 1 1,5 2
f(x) 0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e uma tabela com valores de e . Nosso objetivo aqui é encontrar o limitante superior para o erro de truncamento. Isso faz parte do estudo de Análise Numérica, onde a gente tenta aproximar soluções e precisa saber quão “errada” essa aproximação pode estar. Pra isso, vamos precisar entender como o erro de truncamento funciona e usar as informações da tabela para determinar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é erro de truncamento. Quando a gente aproxima uma função ou uma série, estamos “truncando” ou cortando depois de um certo ponto. O erro de truncamento é a diferença entre o valor real da função e a aproximação que fizemos. Nosso objetivo é encontrar um valor que seja maior ou igual a esse erro em todos os casos possíveis dentro do intervalo considerado.

Passo 3

Para determinar o limitante superior do erro de truncamento, precisamos identificar a derivada de ordem seguinte que está sendo omitida na nossa aproximação. No caso da função f(x) = x ln(x) , vamos calcular as derivadas até a ordem relevante para identificar o termo que contribui para o erro.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de f'(x) = ln(x) + 1 :
f''(x) = 1x
A primeira derivada é:
f'''(x) = -1x^2
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:

Passo 4

Agora, supondo que estamos usando uma aproximação de Taylor de segunda ordem para Rn(x) = f^(n+1)(c)(n+1)! (x - a)^n+1 , o erro de truncamento está relacionado à terceira derivada . A fórmula do erro de truncamento de Taylor é dada por:
Onde:
  • é a ordem da aproximação (no nosso caso, 2)
  • está entre e

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula para nosso caso. Como R2(x) = f'''(c)3! (x - a)^3 , temos:
Sabemos que . Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo considerado.

Passo 6

Observando a tabela, temos os valores de maxx in [1, 2] 1x^2 = 11^2 = 1 entre 1 e 2. Vamos analisar . O valor máximo dessa função no intervalo ocorre em :

Passo 7

Agora, vamos substituir esse valor na fórmula do erro:
|R2(x)| <= 16 (x - a)^3
Aqui, é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Se não foi especificado, geralmente assume-se . Então, .

Passo 8

Para encontrar o máximo erro no intervalo |R2(2)| <= 16 (2 - 1)^3 = 16 (1)^3 = 16 approx 0,1667 , vamos considerar :

Resposta

O limitante superior para o erro de truncamento é aproximadamente 0,1667.

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