Seja e a tabela abaixo:
| | 1 | 1,5 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e uma tabela com valores de e . Nosso objetivo aqui é encontrar o **limitante superior para o erro de truncamento**. Isso faz parte do estudo de **Análise Numérica**, onde a gente tenta aproximar soluções e precisa saber quão "errada" essa aproximação pode estar. Pra isso, vamos precisar entender como o erro de truncamento funciona e usar as informações da tabela para determinar esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é **erro de truncamento**. Quando a gente aproxima uma função ou uma série, estamos "truncando" ou cortando depois de um certo ponto. O erro de truncamento é a diferença entre o valor real da função e a aproximação que fizemos. Nosso objetivo é encontrar um valor que seja maior ou igual a esse erro em todos os casos possíveis dentro do intervalo considerado.
Passo 3
Para determinar o limitante superior do erro de truncamento, precisamos identificar a **derivada de ordem seguinte** que está sendo omitida na nossa aproximação. No caso da função , vamos calcular as derivadas até a ordem relevante para identificar o termo que contribui para o erro.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
Passo 4
Agora, supondo que estamos usando uma aproximação de Taylor de segunda ordem para , o erro de truncamento está relacionado à terceira derivada . A fórmula do erro de truncamento de Taylor é dada por:
Onde:
- é a ordem da aproximação (no nosso caso, 2)
- está entre e
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula para nosso caso. Como , temos:
Sabemos que . Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo considerado.
Passo 6
Observando a tabela, temos os valores de entre 1 e 2. Vamos analisar . O valor máximo dessa função no intervalo ocorre em :
Passo 7
Agora, vamos substituir esse valor na fórmula do erro:
Aqui, é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Se não foi especificado, geralmente assume-se . Então, .
Passo 8
Para encontrar o máximo erro no intervalo , vamos considerar :
Resposta
O limitante superior para o erro de truncamento é aproximadamente **0,1667**.