Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e uma tabela com valores de e . Nosso objetivo aqui é encontrar o limitante superior para o erro de truncamento. Isso faz parte do estudo de Análise Numérica, onde a gente tenta aproximar soluções e precisa saber quão “errada” essa aproximação pode estar. Pra isso, vamos precisar entender como o erro de truncamento funciona e usar as informações da tabela para determinar esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é erro de truncamento. Quando a gente aproxima uma função ou uma série, estamos “truncando” ou cortando depois de um certo ponto. O erro de truncamento é a diferença entre o valor real da função e a aproximação que fizemos. Nosso objetivo é encontrar um valor que seja maior ou igual a esse erro em todos os casos possíveis dentro do intervalo considerado.
Passo 3
Para determinar o limitante superior do erro de truncamento, precisamos identificar a derivada de ordem seguinte que está sendo omitida na nossa aproximação. No caso da função , vamos calcular as derivadas até a ordem relevante para identificar o termo que contribui para o erro.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
Passo 4
Agora, supondo que estamos usando uma aproximação de Taylor de segunda ordem para , o erro de truncamento está relacionado à terceira derivada . A fórmula do erro de truncamento de Taylor é dada por:
Onde:
é a ordem da aproximação (no nosso caso, 2)
está entre e
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula para nosso caso. Como , temos:
Sabemos que . Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo considerado.
Passo 6
Observando a tabela, temos os valores de entre 1 e 2. Vamos analisar . O valor máximo dessa função no intervalo ocorre em :
Passo 7
Agora, vamos substituir esse valor na fórmula do erro:
|R2(x)| <= 16 (x - a)^3
Aqui, é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Se não foi especificado, geralmente assume-se . Então, .
Passo 8
Para encontrar o máximo erro no intervalo |R2(2)| <= 16 (2 - 1)^3 = 16 (1)^3 = 16 approx 0,1667 , vamos considerar :
Resposta
O limitante superior para o erro de truncamento é aproximadamente 0,1667.