Seja e a tabela abaixo: | | 1 | 1,5 | 2 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | | 0 | 0,60819 | 1,38629 | Tabela 3: Tabela do Exercício 3 Faça o que se pede: c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e uma tabela com valores de e . Nosso objetivo aqui é encontrar o **limitante superior para o erro de truncamento**. Isso faz parte do estudo de **Análise Numérica**, onde a gente tenta aproximar soluções e precisa saber quão "errada" essa aproximação pode estar. Pra isso, vamos precisar entender como o erro de truncamento funciona e usar as informações da tabela para determinar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é **erro de truncamento**. Quando a gente aproxima uma função ou uma série, estamos "truncando" ou cortando depois de um certo ponto. O erro de truncamento é a diferença entre o valor real da função e a aproximação que fizemos. Nosso objetivo é encontrar um valor que seja maior ou igual a esse erro em todos os casos possíveis dentro do intervalo considerado.

Passo 3

Para determinar o limitante superior do erro de truncamento, precisamos identificar a **derivada de ordem seguinte** que está sendo omitida na nossa aproximação. No caso da função , vamos calcular as derivadas até a ordem relevante para identificar o termo que contribui para o erro. Primeiro, vamos calcular as derivadas de : A primeira derivada é: A segunda derivada é: A terceira derivada é:

Passo 4

Agora, supondo que estamos usando uma aproximação de Taylor de segunda ordem para , o erro de truncamento está relacionado à terceira derivada . A fórmula do erro de truncamento de Taylor é dada por: Onde: - é a ordem da aproximação (no nosso caso, 2) - está entre e

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula para nosso caso. Como , temos: Sabemos que . Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo considerado.

Passo 6

Observando a tabela, temos os valores de entre 1 e 2. Vamos analisar . O valor máximo dessa função no intervalo ocorre em :

Passo 7

Agora, vamos substituir esse valor na fórmula do erro: Aqui, é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Se não foi especificado, geralmente assume-se . Então, .

Passo 8

Para encontrar o máximo erro no intervalo , vamos considerar :

Resposta

O limitante superior para o erro de truncamento é aproximadamente **0,1667**.

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