Seja f(x)=x^2 e^2 x e a tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7 0,8
f(x) 0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e uma tabela com alguns valores dessa função para , , e . O que a gente precisa fazer é encontrar um polinômio de grau 3 que passe exatamente por esses pontos da tabela. Isso é o que chamamos de interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. É uma função na forma:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
onde , , e são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Como queremos que o polinômio passe pelos quatro pontos da tabela, vamos substituir cada par na equação do polinômio. Isso vai nos dar quatro equações para resolver. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro ponto da tabela: 0,67957 = a(0,5)^3 + b(0,5)^2 + c(0,5) + d e 0,67957 = 0,125a + 0,25b + 0,5c + d (Equação 1) . Substituindo na equação do polinômio:
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, vamos para o segundo ponto: 1,19524 = a(0,6)^3 + b(0,6)^2 + c(0,6) + d e 1,19524 = 0,216a + 0,36b + 0,6c + d (Equação 2) .
Simplificando:
çã

Passo 6

O terceiro ponto é 1,98704 = a(0,7)^3 + b(0,7)^2 + c(0,7) + d e 1,98704 = 0,343a + 0,49b + 0,7c + d (Equação 3) .
Simplificando:
çã

Passo 7

Finalmente, o quarto ponto: 3,16994 = a(0,8)^3 + b(0,8)^2 + c(0,8) + d e 3,16994 = 0,512a + 0,64b + 0,8c + d (Equação 4) .
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
0,125a + 0,25b + 0,5c + d = 0,67957 0,216a + 0,36b + 0,6c + d = 1,19524 0,343a + 0,49b + 0,7c + d = 1,98704 0,512a + 0,64b + 0,8c + d = 3,16994
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , e .

Passo 9

Para resolver o sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Aqui, vamos usar eliminação para simplificar passo a passo.
Primeiro, vamos eliminar o (0,216a - 0,125a) + (0,36b - 0,25b) + (0,6c - 0,5c) = 1,19524 - 0,67957 subtraindo a Equação 1 das demais:
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
0,091a + 0,11b + 0,1c = 0,51567 (Equação 5)
0,343a - 0,125a + 0,49b - 0,25b + 0,7c - 0,5c = 1,98704 - 0,67957 çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 3:
0,218a + 0,24b + 0,2c = 1,30747 (Equação 6)
0,512a - 0,125a + 0,64b - 0,25b + 0,8c - 0,5c = 3,16994 - 0,67957 çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 4:
0,387a + 0,39b + 0,3c = 2,49037 (Equação 7)
çã

Passo 10

Agora, nosso novo sistema é:
0,091a + 0,11b + 0,1c = 0,51567 (Equação 5) 0,218a + 0,24b + 0,2c = 1,30747 (Equação 6) 0,387a + 0,39b + 0,3c = 2,49037 (Equação 7) çãçãçã
Vamos continuar eliminando uma variável. Vamos eliminar 0,182a + 0,22b + 0,2c = 1,03134 (Equação 8) .
Multiplicando a Equação 5 por 2:
(0,218a - 0,182a) + (0,24b - 0,22b) = 1,30747 - 1,03134 çã
Subtraindo Equação 8 da Equação 6:
0,036a + 0,02b = 0,27613 (Equação 9)
çã

Passo 11

Agora, vamos eliminar 0,327a + 0,36b + 0,3c = 1,96121 (Equação 10) entre as Equações 6 e 7.
Multiplicando a Equação 6 por 1,5:
(0,387a - 0,327a) + (0,39b - 0,36b) = 2,49037 - 1,96121 çã
Subtraindo Equação 10 da Equação 7:
0,06a + 0,03b = 0,52916 (Equação 11)
çã

Passo 12

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
0,036a + 0,02b = 0,27613 (Equação 9) 0,06a + 0,03b = 0,52916 (Equação 11) çãçã
Vamos resolver para 0,054a + 0,03b = 0,414195 (Equação 12) e (0,06a - 0,054a) + (0,03b - 0,03b) = 0,52916 - 0,414195 .
Multiplicando a Equação 9 por 1,5 para igualar os coeficientes de 0,006a = 0,114965 :
a = 0,1149650,006 approx 19,161 çã
Subtraindo Equação 12 da Equação 11:
Então,

Passo 13

Agora que temos o valor de 0,036(19,161) + 0,02b = 0,27613 , vamos encontrar 0,687 * + 0,02b = 0,27613 0,02b = 0,27613 - 0,687 0,02b = -0,41087 b = -0,410870,02 = -20,5435 usando a Equação 9:
Calculando:

Passo 14

Com os valores de 0,091(19,161) + 0,11(-20,5435) + 0,1c = 0,51567 e 1,740351 + (-2,259785) + 0,1c = 0,51567 -0,519434 + 0,1c = 0,51567 0,1c = 0,51567 + 0,519434 0,1c = 1,035104 c = 1,0351040,1 = 10,35104 , vamos encontrar usando a Equação 5:
Calculando:

Passo 15

Agora, com 0,125(19,161) + 0,25(-20,5435) + 0,5(10,35104) + d = 0,67957 , 2,395125 - 5,135875 + 5,17552 + d = 0,67957 2,395125 - 5,135875 = -2,74075 -2,74075 + 5,17552 = 2,43477 2,43477 + d = 0,67957 d = 0,67957 - 2,43477 d = -1,7552 e encontrados, vamos determinar usando a Equação 1:
Calculando:

Resposta

O polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2 é:
P(x) = 19,161x^3 - 20,5435x^2 + 10,35104x - 1,7552

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