Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e uma tabela com alguns valores dessa função para , , e . O que a gente precisa fazer é encontrar um polinômio de grau 3 que passe exatamente por esses pontos da tabela. Isso é o que chamamos de interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. É uma função na forma:
onde , , e são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Como queremos que o polinômio passe pelos quatro pontos da tabela, vamos substituir cada par na equação do polinômio. Isso vai nos dar quatro equações para resolver. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro ponto da tabela: e . Substituindo na equação do polinômio:
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, vamos para o segundo ponto: e .
Simplificando:
çã

Passo 6

O terceiro ponto é e .
Simplificando:
çã

Passo 7

Finalmente, o quarto ponto: e .
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , e .

Passo 9

Para resolver o sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Aqui, vamos usar eliminação para simplificar passo a passo.
Primeiro, vamos eliminar o subtraindo a Equação 1 das demais:
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 3:
çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 4:
çã

Passo 10

Agora, nosso novo sistema é:
çãçãçã
Vamos continuar eliminando uma variável. Vamos eliminar .
Multiplicando a Equação 5 por 2:
çã
Subtraindo Equação 8 da Equação 6:
çã

Passo 11

Agora, vamos eliminar entre as Equações 6 e 7.
Multiplicando a Equação 6 por 1,5:
çã
Subtraindo Equação 10 da Equação 7:
çã

Passo 12

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver para e .
Multiplicando a Equação 9 por 1,5 para igualar os coeficientes de :
çã
Subtraindo Equação 12 da Equação 11:
Então,

Passo 13

Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a Equação 9:
Calculando:

Passo 14

Com os valores de e , vamos encontrar usando a Equação 5:
Calculando:

Passo 15

Agora, com , e encontrados, vamos determinar usando a Equação 1:
Calculando:

Resposta

O polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2 é:

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
b) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento no intervalo [0,1/2]. Para qual valor do intervalo este erro máximo ocorre?