Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e uma tabela com alguns valores dessa função para , , e . O que a gente precisa fazer é encontrar um polinômio de grau 3 que passe exatamente por esses pontos da tabela. Isso é o que chamamos de interpolação polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. É uma função na forma:
onde , , e são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Como queremos que o polinômio passe pelos quatro pontos da tabela, vamos substituir cada par na equação do polinômio. Isso vai nos dar quatro equações para resolver. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro ponto da tabela: e . Substituindo na equação do polinômio:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo ponto: e .
Simplificando:
Passo 6
O terceiro ponto é e .
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, o quarto ponto: e .
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , e .
Passo 9
Para resolver o sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Aqui, vamos usar eliminação para simplificar passo a passo.
Primeiro, vamos eliminar o subtraindo a Equação 1 das demais:
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 3:
çã
Subtraindo Equação 1 da Equação 4:
çã
Passo 10
Agora, nosso novo sistema é:
çãçãçã
Vamos continuar eliminando uma variável. Vamos eliminar .
Multiplicando a Equação 5 por 2:
çã
Subtraindo Equação 8 da Equação 6:
çã
Passo 11
Agora, vamos eliminar entre as Equações 6 e 7.
Multiplicando a Equação 6 por 1,5:
çã
Subtraindo Equação 10 da Equação 7:
çã
Passo 12
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver para e .
Multiplicando a Equação 9 por 1,5 para igualar os coeficientes de :
çã
Subtraindo Equação 12 da Equação 11:
Então,
Passo 13
Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a Equação 9:
Calculando:
Passo 14
Com os valores de e , vamos encontrar usando a Equação 5:
Calculando:
Passo 15
Agora, com , e encontrados, vamos determinar usando a Equação 1:
Calculando:
Resposta
O polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2 é: