Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e uma tabela com alguns valores dessa função para , , e . O que a gente precisa fazer é encontrar um polinômio de grau 3 que passe exatamente por esses pontos da tabela. Isso é o que chamamos de interpolação polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. É uma função na forma:
onde , , e são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Como queremos que o polinômio passe pelos quatro pontos da tabela, vamos substituir cada par na equação do polinômio. Isso vai nos dar quatro equações para resolver. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro ponto da tabela: e . Substituindo na equação do polinômio:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo ponto: e .
Simplificando:
Passo 6
O terceiro ponto é e .
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, o quarto ponto: e .
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , e .
Passo 9
Para resolver o sistema, podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Aqui, vamos usar eliminação para simplificar passo a passo.
Primeiro, vamos eliminar o (0,216a - 0,125a) + (0,36b - 0,25b) + (0,6c - 0,5c) = 1,19524 - 0,67957 subtraindo a Equação 1 das demais: