Utilizando o método da bisseção, refinar o intervalo que contém a raiz de , considerando como intervalo inicial. Considere o erro para identificar o de iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da bisseção para encontrar a raiz da função no intervalo inicial . O método da bisseção é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar perto o suficiente da raiz. Aqui, queremos parar quando o erro for menor que (ou seja, 0.1). Vamos precisar calcular os valores da função e verificar os sinais para refinar o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo . Isso é importante porque o método da bisseção só funciona se e tiverem sinais opostos, garantindo que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
Como é negativo e é positivo, temos que há pelo menos uma raiz entre 0.5 e 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto médio do intervalo :
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Vamos verificar o tamanho atual do intervalo :
Como , precisamos continuar refinando.
Encontramos o novo ponto médio:
Calculamos :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Verificamos o tamanho do intervalo :
Como , ainda precisamos refinar.
Calculamos o novo ponto médio:
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Verificamos o tamanho do intervalo :
Agora, , o que atende ao critério de erro.

Resposta

O intervalo refinado que contém a raiz de usando o método da bisseção com erro é .

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