Utilizando o método da bisseção, refinar o intervalo que contém a raiz de f(x)=x^2+ln (x), considerando [0.5,1] como intervalo inicial. Considere o erro varepsilon<10^-1 para identificar o ^circ de iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da bisseção para encontrar a raiz da função no intervalo inicial . O método da bisseção é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar perto o suficiente da raiz. Aqui, queremos parar quando o erro for menor que (ou seja, 0.1). Vamos precisar calcular os valores da função e verificar os sinais para refinar o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo f(0.5) = (0.5)^2 + ln(0.5) = 0.25 + (-0.6931) approx -0.4431 . Isso é importante porque o método da bisseção só funciona se f(1) = (1)^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1 e tiverem sinais opostos, garantindo que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
Como é negativo e é positivo, temos que há pelo menos uma raiz entre 0.5 e 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto médio do intervalo c = 0.5 + 12 = 0.75 :
f(0.75) = (0.75)^2 + ln(0.75) = 0.5625 + (-0.2877) approx 0.2748
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Vamos verificar o tamanho atual do intervalo Erro = 0.75 - 0.5 = 0.25 :
c = 0.5 + 0.752 = 0.625
Como f(0.625) = (0.625)^2 + ln(0.625) = 0.3906 + (-0.4700) approx -0.0794 , precisamos continuar refinando.
Encontramos o novo ponto médio:
Calculamos :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Verificamos o tamanho do intervalo Erro = 0.75 - 0.625 = 0.125 :
c = 0.625 + 0.752 = 0.6875
Como f(0.6875) = (0.6875)^2 + ln(0.6875) = 0.4727 + (-0.3752) approx 0.0975 , ainda precisamos refinar.
Calculamos o novo ponto médio:
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Verificamos o tamanho do intervalo Erro = 0.6875 - 0.625 = 0.0625 :
Agora, , o que atende ao critério de erro.

Resposta

O intervalo refinado que contém a raiz de usando o método da bisseção com erro é .

Exercícios relacionados