Seja f(x)=e^x+3 definida no intervalo [0,2].
Aproxime f(0.35) e f(0.85) utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2 , com os pontos com x0=0.0, x1=1.0 e x2=2.0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre a função , definida no intervalo . A gente precisa aproximar os valores de e usando um polinômio de Lagrange de grau 2. Para isso, vamos usar os pontos , e . Vamos precisar entender como funciona a fórmula do polinômio de Lagrange e aplicar ela passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o polinômio de Lagrange. É uma forma de interpolar um conjunto de pontos conhecidos, gerando um polinômio que passa exatamente por esses pontos. No nosso caso, como temos três pontos ( P(x) = f(x0) cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + f(x1) cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + f(x2) cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) ), o polinômio será de grau 2.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Vamos calcular cada termo desse polinômio.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular os valores de f(0) = e^0 + 3 = 1 + 3 = 4 nos pontos dados:
f(1) = e^1 + 3 approx 2.71828 + 3 = 5.71828
f(2) = e^2 + 3 approx 7.38906 + 3 = 10.38906
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular cada fração do polinômio:
Para (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 1)(x - 2)(0 - 1)(0 - 2) = (x - 1)(x - 2)2 :
(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - 0)(x - 2)(1 - 0)(1 - 2) = x(x - 2)-1 = -x(x - 2)
Para (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - 0)(x - 1)(2 - 0)(2 - 1) = x(x - 1)2 :
Para :

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula do polinômio:
P(x) = 4 cdot (x - 1)(x - 2)2 + 5.71828 cdot (-x(x - 2)) + 10.38906 cdot x(x - 1)2
Vamos simplificar cada termo:
P(x) = 2(x - 1)(x - 2) - 5.71828x(x - 2) + 5.19453x(x - 1)

Passo 6

Agora, vamos substituir P(0.35) = 2(0.35 - 1)(0.35 - 2) - 5.71828 cdot 0.35(0.35 - 2) + 5.19453 cdot 0.35(0.35 - 1) e 2(0.35 - 1)(0.35 - 2) = 2(-0.65)(-1.65) = 2 cdot 1.0725 = 2.145 na expressão de -5.71828 cdot 0.35(-1.65) = -5.71828 cdot (-0.5775) approx 3.2955 para encontrar as aproximações de 5.19453 cdot 0.35(-0.65) = 5.19453 cdot (-0.2275) approx -1.1822 e P(0.35) approx 2.145 + 3.2955 - 1.1822 approx 4.2583 .
Primeiro, para P(0.85) = 2(0.85 - 1)(0.85 - 2) - 5.71828 cdot 0.85(0.85 - 2) + 5.19453 cdot 0.85(0.85 - 1) :
2(0.85 - 1)(0.85 - 2) = 2(-0.15)(-1.15) = 2 cdot 0.1725 = 0.345
Calculando cada parte:
-5.71828 cdot 0.85(-1.15) = -5.71828 cdot (-0.9775) approx 5.5752
5.19453 cdot 0.85(-0.15) = 5.19453 cdot (-0.1275) approx -0.6612
P(0.85) approx 0.345 + 5.5752 - 0.6612 approx 5.259
Somando tudo:
Agora, para :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

Aproximações encontradas usando o polinômio de Lagrange de grau 2 são:
f(0.35) approx 4.2583
f(0.85) approx 5.259

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