Seja
definida no intervalo
.
Aproxime
e
utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2 , com os pontos com
e
;
Aproxime
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre a função
, definida no intervalo
. A gente precisa aproximar os valores de
e
usando um polinômio de Lagrange de grau 2. Para isso, vamos usar os pontos
,
e
. Vamos precisar entender como funciona a fórmula do polinômio de Lagrange e aplicar ela passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o polinômio de Lagrange. É uma forma de interpolar um conjunto de pontos conhecidos, gerando um polinômio que passa exatamente por esses pontos. No nosso caso, como temos três pontos (
), o polinômio será de grau 2.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Vamos calcular cada termo desse polinômio.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular os valores de
nos pontos dados:
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange.
Passo 4
Vamos calcular cada fração do polinômio:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora substituímos tudo na fórmula do polinômio:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na expressão de
para encontrar as aproximações de
e
.
Primeiro, para
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Agora, para
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
Aproximações encontradas usando o polinômio de Lagrange de grau 2 são:
Exercícios relacionados
Seja
definida no intervalo
.
Aproxime utilizando interpolação linear com
e
;
Aproxime
Seja
definida no intervalo
.
Aproxime utilizando interpolação linear com
e
;
Aproxime
Seja
definida no intervalo
.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Encontre a solução de uma da função
em cada caso usando a regra trapezoidal, onde:
e
;