Seja definida no intervalo .
Aproxime e utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2 , com os pontos com e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre a função , definida no intervalo . A gente precisa aproximar os valores de e usando um polinômio de Lagrange de grau 2. Para isso, vamos usar os pontos , e . Vamos precisar entender como funciona a fórmula do polinômio de Lagrange e aplicar ela passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o polinômio de Lagrange. É uma forma de interpolar um conjunto de pontos conhecidos, gerando um polinômio que passa exatamente por esses pontos. No nosso caso, como temos três pontos ( ), o polinômio será de grau 2.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Vamos calcular cada termo desse polinômio.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular os valores de nos pontos dados:
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular cada fração do polinômio:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula do polinômio:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na expressão de para encontrar as aproximações de e .
Primeiro, para :
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Agora, para :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

Aproximações encontradas usando o polinômio de Lagrange de grau 2 são:

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Seja definida no intervalo .
Aproxime utilizando interpolação linear com e ;
Seja definida no intervalo .
Aproxime utilizando interpolação linear com e ;
Seja definida no intervalo .
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Encontre a solução de uma da função em cada caso usando a regra trapezoidal, onde:
e