Seja f(x)=e^x+3 definida no intervalo [0,2].
Aproxime f(0.85) utilizando interpolação linear com x0=0.5 e x1=1.0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa aproximar o valor de usando interpolação linear. A interpolação linear é uma técnica para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Aqui, vamos usar os pontos e . Para isso, vamos precisar calcular os valores de nesses pontos e aplicar a fórmula da interpolação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0.5) = e^0.5 + 3 approx 1.6487 + 3 = 4.6487 nos pontos f(1.0) = e^1.0 + 3 approx 2.7183 + 3 = 5.7183 e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da interpolação linear para estimar f(x) approx f(x0) + f(x1) - f(x0)x1 - x0 cdot (x - x0) . A fórmula é:
Aqui, , , e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
f(0.85) approx 4.6487 + 5.7183 - 4.64871.0 - 0.5 cdot (0.85 - 0.5)
Primeiro, calculamos a diferença no numerador:
5.7183 - 4.6487 = 1.0696
E o denominador:
1.0 - 0.5 = 0.5
Então, a taxa de variação é:
1.06960.5 = 2.1392

Passo 5

Agora, multiplicamos essa taxa pela diferença entre 2.1392 cdot (0.85 - 0.5) = 2.1392 cdot 0.35 approx 0.7487 e :

Passo 6

Finalmente, somamos esse valor a f(0.85) approx 4.6487 + 0.7487 = 5.3974 :

Resposta

Aproximando pela interpolação linear, obtemos .

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