Seja a equação
. Mostre que esta equação é equivalente à equação
, onde
. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função
e a aproximação inicial
, calcule os 9 termos seguintes da sequência
.
É possível concluir que a sequência está convergindo para
?
É possível concluir que a sequência está convergindo para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa mostrar que ela é igual a
, onde
. Depois, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas com essa função
e começar com
para calcular os próximos 9 termos da sequência
. No final, vamos ver se essa sequência está se aproximando de um valor específico, ou seja, se está convergindo para
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a equação
é equivalente a
. Para isso, vamos rearranjar a equação original:
Adicionando
aos dois lados:
Agora, dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Simplificando:
E aí temos:
Então, mostramos que as duas equações são equivalentes.
Passo 3
Agora, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações fixas da forma
. Começamos com uma aproximação inicial
e aplicamos a função
repetidamente para gerar uma sequência de valores que esperamos convergir para a solução da equação.
Nossa função
e a aproximação inicial é
.
Passo 4
Vamos calcular o primeiro termo da sequência:
Então,
.
Passo 5
Agora, calculamos o segundo termo:
Então,
.
Passo 6
Calculando o terceiro termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 7
Calculando o quarto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 8
Calculando o quinto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 9
Calculando o sexto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 10
Calculando o sétimo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 11
Calculando o oitavo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 12
Calculando o nono termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Passo 13
Calculando o décimo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então,
.
Resposta
A sequência dos termos calculados é:
Observando os termos, vemos que a sequência oscila e não está se aproximando de um valor fixo. Portanto, não é possível concluir que a sequência está convergindo para
.
Exercícios relacionados
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
.
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
;
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que
.
, com aproximação inicial
.
A equação
tem uma única solução
. Encontre a aproximação
de
, usando o Método das Aproximações Sucessivas, com
e
.