Seja a equação . Mostre que esta equação é equivalente à equação , onde . Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função e a aproximação inicial , calcule os 9 termos seguintes da sequência .
É possível concluir que a sequência está convergindo para ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa mostrar que ela é igual a , onde . Depois, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas com essa função e começar com para calcular os próximos 9 termos da sequência . No final, vamos ver se essa sequência está se aproximando de um valor específico, ou seja, se está convergindo para .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a equação é equivalente a . Para isso, vamos rearranjar a equação original:
Adicionando aos dois lados:
Agora, dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Simplificando:
E aí temos:
Então, mostramos que as duas equações são equivalentes.

Passo 3

Agora, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações fixas da forma . Começamos com uma aproximação inicial e aplicamos a função repetidamente para gerar uma sequência de valores que esperamos convergir para a solução da equação.
Nossa função e a aproximação inicial é .

Passo 4

Vamos calcular o primeiro termo da sequência:
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos o segundo termo:
Então, .

Passo 6

Calculando o terceiro termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 7

Calculando o quarto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 8

Calculando o quinto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 9

Calculando o sexto termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 10

Calculando o sétimo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 11

Calculando o oitavo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 12

Calculando o nono termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Passo 13

Calculando o décimo termo:
Primeiro,
E
Somando:
Então, .

Resposta

A sequência dos termos calculados é:
Observando os termos, vemos que a sequência oscila e não está se aproximando de um valor fixo. Portanto, não é possível concluir que a sequência está convergindo para .

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