Seja a equação x^3-x-1=0. Mostre que esta equação é equivalente à equação x=varphi(x), onde varphi(x)=1x+1x^2. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função varphi e a aproximação inicial x0=1, calcule os 9 termos seguintes da sequência xn+1=varphi(xn), n=0,1,2, ldots.
É possível concluir que a sequência está convergindo para barx ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa mostrar que ela é igual a , onde . Depois, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas com essa função e começar com para calcular os próximos 9 termos da sequência . No final, vamos ver se essa sequência está se aproximando de um valor específico, ou seja, se está convergindo para .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a equação x^3 - x - 1 = 0 é equivalente a x^3 = x + 1 . Para isso, vamos rearranjar a equação original:
x^3x^2 = x + 1x^2
Adicionando x = 1x + 1x^2 aos dois lados:
x = varphi(x)
Agora, dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Simplificando:
E aí temos:
Então, mostramos que as duas equações são equivalentes.

Passo 3

Agora, vamos usar o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações fixas da forma . Começamos com uma aproximação inicial e aplicamos a função repetidamente para gerar uma sequência de valores que esperamos convergir para a solução da equação.
Nossa função e a aproximação inicial é .

Passo 4

Vamos calcular o primeiro termo da sequência:
x1 = varphi(x0) = 1x0 + 1x0^2 = 11 + 11^2 = 1 + 1 = 2
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos o segundo termo:
x2 = varphi(x1) = 12 + 12^2 = 12 + 14 = 0.5 + 0.25 = 0.75
Então, .

Passo 6

Calculando o terceiro termo:
x3 = varphi(x2) = 10.75 + 10.75^2
Primeiro, x3 approx 1.3333 + 1.7778 = 3.1111
E
Somando:
Então, .

Passo 7

Calculando o quarto termo:
x4 = varphi(x3) = 13.1111 + 1(3.1111)^2
Primeiro, x4 approx 0.3214 + 0.1036 = 0.4250
E
Somando:
Então, .

Passo 8

Calculando o quinto termo:
x5 = varphi(x4) = 10.4250 + 1(0.4250)^2
Primeiro, x5 approx 2.3529 + 5.5292 = 7.8821
E
Somando:
Então, .

Passo 9

Calculando o sexto termo:
x6 = varphi(x5) = 17.8821 + 1(7.8821)^2
Primeiro, x6 approx 0.1270 + 0.0161 = 0.1431
E
Somando:
Então, .

Passo 10

Calculando o sétimo termo:
x7 = varphi(x6) = 10.1431 + 1(0.1431)^2
Primeiro, x7 approx 6.9841 + 48.8404 = 55.8245
E
Somando:
Então, .

Passo 11

Calculando o oitavo termo:
x8 = varphi(x7) = 155.8245 + 1(55.8245)^2
Primeiro, x8 approx 0.0179 + 0.000321 = 0.0182
E
Somando:
Então, .

Passo 12

Calculando o nono termo:
x9 = varphi(x8) = 10.0182 + 1(0.0182)^2
Primeiro, x9 approx 54.9451 + 3019.8019 = 3074.7470
E
Somando:
Então, .

Passo 13

Calculando o décimo termo:
x10 = varphi(x9) = 13074.7470 + 1(3074.7470)^2
Primeiro, x10 approx 0.0003255 + 0.00000010584 approx 0.0003256
E
Somando:
Então, .

Resposta

A sequência dos termos calculados é:
x0 &= 1 x1 &= 2 x2 &= 0.75 x3 &approx 3.1111 x4 &approx 0.4250 x5 &approx 7.8821 x6 &approx 0.1431 x7 &approx 55.8245 x8 &approx 0.0182 x9 &approx 3074.7470 x10 &approx 0.0003256
Observando os termos, vemos que a sequência oscila e não está se aproximando de um valor fixo. Portanto, não é possível concluir que a sequência está convergindo para .

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