Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. A gente quer encontrar uma solução no intervalo , começando com , e garantir que o erro relativo seja menor que . Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton e da derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função:

Passo 3

O Método de Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar aproximações sucessivas:
Vamos começar com e calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular usando :

Passo 5

Vamos continuar com para encontrar :

Passo 6

Vamos calcular usando :

Passo 7

Agora, vamos verificar o erro relativo entre e :
Como 0.0033 é maior que 0.001, precisamos de mais uma iteração.

Passo 8

Calculando usando :

Resposta

Aproximando com o Método de Newton, a solução da equação no intervalo com erro relativo menor que é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Seja a equação . Mostre que esta equação é equivalente à equação , onde . Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função e a aproximação inicial , calcule os 9 termos seguintes da sequência .
É possível concluir que a sequência está convergindo para ?
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .
A equação tem uma única solução . Encontre a aproximação de , usando o Método das Aproximações Sucessivas, com e .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .