Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que varepsilon=0.001.
e^x-cos x-1=0 ; barx in[0,1], com aproximação inicial x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. A gente quer encontrar uma solução no intervalo , começando com , e garantir que o erro relativo seja menor que . Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton e da derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
f(x) = e^x - cos x - 1
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função:
f'(x) = e^x + sin x

Passo 3

O Método de Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar aproximações sucessivas:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com f(0) = e^0 - cos(0) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 e calcular f'(0) = e^0 + sin(0) = 1 + 0 = 1 :
x1 = 0 - -11 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular f(1) = e^1 - cos(1) - 1 approx 2.7183 - 0.5403 - 1 = 1.178 usando f'(1) = e^1 + sin(1) approx 2.7183 + 0.8415 = 3.5598 :
x2 = 1 - 1.1783.5598 approx 1 - 0.331 = 0.669

Passo 5

Vamos continuar com f(0.669) = e^0.669 - cos(0.669) - 1 approx 1.952 - 0.785 - 1 = 0.167 para encontrar f'(0.669) = e^0.669 + sin(0.669) approx 1.952 + 0.620 = 2.572 :
x3 = 0.669 - 0.1672.572 approx 0.669 - 0.065 = 0.604

Passo 6

Vamos calcular f(0.604) = e^0.604 - cos(0.604) - 1 approx 1.826 - 0.821 - 1 = 0.005 usando f'(0.604) = e^0.604 + sin(0.604) approx 1.826 + 0.569 = 2.395 :
x4 = 0.604 - 0.0052.395 approx 0.604 - 0.002 = 0.602

Passo 7

Agora, vamos verificar o erro relativo entre Erro relativo = | 0.602 - 0.6040.604 | approx 0.0033 e :
Como 0.0033 é maior que 0.001, precisamos de mais uma iteração.

Passo 8

Calculando f(0.602) = e^0.602 - cos(0.602) - 1 approx 1.826 - 0.825 - 1 = 0.001 usando f'(0.602) = e^0.602 + sin(0.602) approx 1.826 + 0.564 = 2.390 :
x5 = 0.602 - 0.0012.390 approx 0.602 - 0.0004 = 0.6016

Resposta

Aproximando com o Método de Newton, a solução da equação no intervalo com erro relativo menor que é aproximadamente .

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