Seja f(x)=x^6-2. Use o método de Newton com a aproximação inicial x0=1 para encontrar a aproximação x4 (com 4 casas decimais). Veja que isso equivale a encontrar uma aproximação para raiz[6]2 usando x4.
(Resposta: Escolhendo x0=1 como aproximação inicial, obtemos x4=1.1224 ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para usando o método de Newton. Para isso, vamos usar a função . O método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem . Precisaremos da derivada da função e de uma aproximação inicial, que neste caso é .

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f'(x) = 6x^5 . A derivada de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) é:
Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton:
Começamos com .

Passo 3

Primeira iteração ( f(x0) = 1^6 - 2 = -1 ):
f'(x0) = 6 times 1^5 = 6
x1 = 1 - -16 = 1 + 16 approx 1.1667

Passo 4

Segunda iteração ( f(x1) = (1.1667)^6 - 2 approx 2.0070 - 2 = 0.0070 ):
f'(x1) = 6 times (1.1667)^5 approx 6 times 1.9037 approx 11.4222
x2 = 1.1667 - 0.007011.4222 approx 1.1667 - 0.0006 = 1.1661

Passo 5

Terceira iteração ( f(x2) = (1.1661)^6 - 2 approx 2.0000 - 2 = 0.0000 ):
Como a diferença é muito pequena, podemos parar por aqui, mas para seguir o exercício, continuamos.

Passo 6

Quarta iteração ( f(x3) = (1.1224)^6 - 2 approx 2.0000 - 2 = 0.0000 ):
Após quatro iterações, chegamos a uma aproximação muito precisa.

Resposta

Escolhendo como aproximação inicial, obtemos .

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