Seja . Use o método de Newton com a aproximação inicial para encontrar a aproximação (com 4 casas decimais). Veja que isso equivale a encontrar uma aproximação para usando .
(Resposta: Escolhendo como aproximação inicial, obtemos ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para usando o método de Newton. Para isso, vamos usar a função . O método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem . Precisaremos da derivada da função e de uma aproximação inicial, que neste caso é .

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de . A derivada de é:
Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton:
Começamos com .

Passo 3

Primeira iteração ( ):

Passo 4

Segunda iteração ( ):

Passo 5

Terceira iteração ( ):
Como a diferença é muito pequena, podemos parar por aqui, mas para seguir o exercício, continuamos.

Passo 6

Quarta iteração ( ):
Após quatro iterações, chegamos a uma aproximação muito precisa.

Resposta

Escolhendo como aproximação inicial, obtemos .

Exercícios relacionados

Seja , e . Mostre que sempre que , mas que, para que se tenha , é necessário .
Usando o método da bisseç̧ão para determinar a raiz de em , preencha a seguinte tabela (usando 4 casas decimais ):
Sinal
0 -1 0 -0.5
1
2
3
4 - - Stop
[Resp. Obtém-se
Dados e as aproximações e use o método da secante para encontrar a aproximação , usando 4 casas decimais (sem arredondamento), completando a tabela a seguir:
1 0.7 0.8 0.0614 0.7386
2 0.8 0.7386
3
4
[Resp. Encontra-se